О существе математических доказательств

Физики продолжают шутить

Дж.Коэн (студент Гарвардского университета). Напечатано в книге: "A Stress Analysis of a Strapless Evening Gown". Englewood Cliffs, N. J., 1963.

Бертран Рассел определил математику как науку, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим и насколько правильно то, что мы говорим. Известно, что математика широко применяется во многих других областях науки. Следовательно, и остальные ученые в большинстве своем не знают, о чем говорят и истина ли то, что они говорят. Таким образом, одна из главных функций математического доказательства - создание надежной основы для проникновения в суть вещей.

Аристотель относится к числу первых философов, занявшихся изучением математических доказательств. Он изобрел силлогизм - приспособление, которое в силу своей абсолютной бесполезности привлекало внимание бесчисленного множества логиков и философов. Силлогизм состоит из первой посылки, второй посылки и заключения. Логики только и делают, что приходят к заключениям. Просто чудо, что они до сих пор не обошли все кругом и не пришли туда, откуда вышли.

В первой посылке заключается истина, относящаяся к целому классу вещей, например: "Не все посылки верны". Во второй посылке утверждается, что интересующая нас вещь принадлежит к этому классу, например: "Последние четыре слова предыдущего предложения являются посылкой". Таким образом, мы приходим к заключению: "Не всегда верно, что не все посылки верны". Такова всеобъемлющая полнота, с которой логика обобщает явления повседневной жизни.

Опираясь на математические доказательства, ученые сумели соединить дотоле разрозненные области, термодинамику и технику связи, в новую дисциплину - теорию информации. "Информация", научным образом определенная, пропорциональна удивлению: чем удивительнее сообщение, тем больше информации оно содержит. Если, подняв телефонную трубку, человек услышит "алло", это его не очень удивит; значительно больше будет информация, если его вместо "алло" внезапно ударит током.

Колоссальные новые возможности открылись перед математическими доказательствами с развитием теории множеств в конце 19-го столетия и начале 20-го. Автор сам недавно открыл одну теорему в теории множеств, которая заслуживает того, чтобы ее здесь привести.

Теорема: Множество, единственным элементом которого является множество, может быть изоморфно множеству, единственным элементом которого является множество, все элементы которого образуют подгруппу элементов в множестве, которое является единственным элементом множества, с которым оно изоморфно.

Эту интуитивно очевидную теорему можно окольным путем вывести из теоремы об изоморфизме в теории групп.

Рассмотрим теперь логические системы. От простого набора теорем логическая система отличается так же, как готовое здание от груды кирпичей: в логической системе каждая последующая теорема опирается на предыдущую. Пойа отмечал, что заслуга Евклида состояла не в коллекционировании геометрических фактов, а в их логическом упорядочении. Если бы он просто свалил их в кучу, то прославился бы не больше, чем автор любого учебника по математике для средней школы.

Чтобы проиллюстрировать способы математических доказательств, мы приведем пример развернутой логической системы.

Лемма 1: Все лошади имеют одинаковую масть (докажем по индукции).

Доказательство: Очевидно, что одна лошадь имеет одинаковую масть. Обозначим через P(k) предположение, что k лошадей имеют одинаковую масть, и покажем, что из такого предположения вытекает, что k+1 лошадей имеют ту же масть. Возьмем множество, состоящее из k+1 лошадей, и удалим из него одну лошадь, тогда оставшиеся k лошадей по предположению имеют одинаковую масть. Вернем удаленную лошадь в множество, а вместо нее удалим другую. Получится снова табун из k лошадей. Согласно предположению, все они одной масти. Так мы переберем все k+1 множеств, в каждом по k лошадей. Отсюда следует, что все лошади одной масти, то есть предположение, что P(k) влечет за собой P(k+1). Но ранее мы уже показали, что предположение Р(1) выполняется всегда, значит, Р справедливо для любого k и все лошади имеют одинаковую масть.

Следствие 1: Все предметы имеют одинаковую окраску.

Доказательство: В доказательстве леммы 1 никак не используется конкретная природа рассматриваемых объектов. Поэтому в утверждении "если Х - лошадь, то все Х имеют одинаковую окраску" можно заменить "лошадь" на "нечто" и тем самым доказать следствие. (Можно, кстати, заменить "нечто" на "ничто" без нарушения справедливости утверждения, но этого мы доказывать не будем.)

Следствие 2: Все предметы белого цвета.

Доказательство: Если утверждение справедливо для всех X, то при подстановке любого конкретного Х оно сохраняет свою справедливость. В частности, если Х - слон, то все слоны одинакового цвета. Аксиоматически достоверным является существование белых слонов (смотрите Марк Твен, Похищение белого слона). Следовательно, все слоны белого цвета. Тогда из следствия 1 вытекает следствие 2, что и требовалось доказать!

 

Теорема: Александр Великий не существовал.

Доказательство: Заметим для начала, что историки, очевидно, всегда говорят правду (поскольку они всегда ручаются за свои слова и поэтому, следовательно, не могут лгать). Отсюда исторически достоверным является утверждение: "Если Александр Великий существовал, то он ездил на вороном коне, которого звали Буцефал". Но, согласно следствию 2, все предметы белые, и Александр не мог ездить на вороном коне. Поэтому для справедливости высказанного выше условного исторического утверждения необходимо, чтобы условие нарушалось. Следовательно, Александр Великий в действительности не существовал.

Из этого краткого обзора, посвященного математическим доказательствам, не следует делать вывод, что все уже доказано. Приведем два примера недоказанных теорем. Первый - это знаменитая гипотеза Голдбрика из теории чисел, которая утверждает, что каждое простое число можно представить в виде суммы двух четных чисел. Этого нехитрого утверждения никто до сих пор не опроверг, но, несмотря на многовековые усилия математиков, никто и не доказал. Второй пример известен, хотя бы в интуитивной форме, всему цивилизованному миру. Это знаменитый первый закон Чизхолма: "Все, что может испортиться, - портится".

Ю.Конобеев, В.Павлинчук, Н.Работнов, В.Турчин, Издательство "Мир", 1968