Как три вектора один детерминант в нуль обратили

Физики продолжают шутить

Народная сказка. Напечатано в газете "За науку" Московского физико-технического института, N8 и 9 (1961).

В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное удобо-порядоченное семейство векторов - I₁, I₂ и I₃. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили в чем мать родила. Из периода в период, от - "пи" до "пи" гнули братья спины на базисе богатого Симплекса - эксплуататора и тунеядца, который всю жизнь свою прожил по принципу наименьшего действия.

И невзлюбил их сын Симплекса Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобьет, то другую.

"Не будет нам житья от этого Комплекса, - решили братья. - Нет на него никаких ограничений". И задумали они обойти все пространства и все подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли в чисто потенциальное поле и пошли с шагом h/2 куда глаза глядят. "пи" идут, 2 "пи" идут, 3 "пи" идут. Стали уже попадаться изоклины. Глянули братья - прямо перед ними блестит голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение. Не простое течение - с кавитацией. "А не половить ли нам рыбки?" - молвил I₁. "Отчего же нет?" - сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою видавшую виды ортогональную сеть. Смотрят - в сети сигма-рыба бьется, человечьим голосом разговаривает: "Не губите меня, добры молодцы, я еще вам пригожусь". Выпустили ее братья на волю и дальше пошли.

Долго ли, коротко ли шли - больше нуля, меньше бесконечности - смотрят: стоит при дороге малый параметр, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили ядрами всвертку, угостили и повторными. Стал тут параметр на глазах расти, а когда достиг экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал: "Я еще вам пригожусь". Да и пропал, будто и не было его вовсе.

Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья Мебиуса, закрутились в воздухе уединенные вихри; огненные разрезы молний раскололи небесную сферу Римана. Оглянулись братья, глядь - при дороге избушка на курьих ножках. "Избушка, избушка, повернись к нам плюсом, к лесу минусом". Попереминалась избушка с ноги на ногу, повернулась. Вошли в нее векторы и возрадовались. Стоит в избушке стол, всякими яствами уставлен. Поели братья, спросили: "Есть тут кто? Отзовись". Смотрят - из-под печки вылезает не то вектор, не то скаляр, дробной цепью закованный. "Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. Вот уже полжизни сижу я здесь под стражей злой Наблы-Яги за отрицание разнозначности..." Не успел он договорить - зашумело, засвистело вокруг. "Бежим!" - воскричал Мак Лоран. Расковали его братья и пустились все вместе наутек. Оглянулись и видят - летит по небу прекрасная Дельта. Ударилась Дельта оземь, стала на голову и обратилась в страшную Наблу-Ягу. "Чую, чую, векторным духом пахнет!" А векторов тех уж и след простыл.

Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на Divgrad, что означает Дивный город, а сам пошел своим путем.

...И выросли перед братьями стены града великого, подобно тому как возрастает график тангенса с аргументом, близким к "пи"/2. И расходилось от него сияние лучистое, подобно тому как расходятся частные суммы гармонического ряда.

Зашли братья в харчевню "Yc волной", разговорились с хозяйкой, толстой, дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город. Устроил как-то правитель Дивграда великий Тензор IV инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Такого бала еще не было в его области определения. Приехал на бал граф Икс в самосопряженной коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные звуки K-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце "Па dt". Вдруг погас свет, заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты и след простыл. Как показало следствие из теоремы о монодрамии, ее похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи.

Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться силами со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тэйлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.

Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжелые граничные условия не позволили векторам пройти в соседнюю накрестлежащую область, населенную псевдовекторами, где господствовало классовое неравенство Коши-Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: "Направо пойдешь - в бесконечность уйдешь. Налево пойдешь - координат не соберешь. Прямо пойдешь - транспонируешься". Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись - старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. "Знаю, братья, я вашу думу. Тяжелое дело вы замыслили. Трудно одолеть Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко к корням полинома Лежандра, первый узел - простой, второй - морской, третий - логарифмический. А полином тот растет в изолированной точке и добраться до нее нелегко. Лежит она за 3⁹ земель в пространстве хана Банаха. И охраняет ее чудище с трансцендентным числом ног, по кличке Декремент. Тот детерминант надо достать и приравнять нулю".

Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Стоят, гадают, как им быть - не знают. Вдруг откуда ни возьмись - сигма-рыба. "Вот и пригодилась я вам, добрые молодцы!" Перевезла их всех, объяснила дорогу дальше.

Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Да предстал перед ними малый параметр. "Вот и пригодился я вам, братья!". Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли братья на другую сторону. "А теперь, - говорит им параметр, - идите по следам матриц, прямо до изолированной точки".

Отыскали братья следы, смотрят - расходятся они на три стороны. Отправились они каждый по своему направлению. Шел-шел I₁ - вдруг как из-под земли выросли перед ним неисчислимые орты хана Банаха, все, кроме, быть может, одного, одетые в жорданову форму, подстриженные под скобку Пуассона. "Эх, - опечалился вектор, - нет со мной моих любимых братьев! Да ничего, I₁ в поле воин!" - и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Одолели супостата.

Вдруг задрожало все вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья, накинули на него веревочный многоугольник. Запуталось в нем чудище. Издохло.

Нашли братья полином, разрыли корни, разрубили узлы, открыли икосаэдр, достали додекаэдр, извлекли детерминант... да и приравняли его нулю. Тут и пришел конец Вандермонду. И появилась перед братьями красавица Резольвента, живая и невредимая.

...Что и требовалось доказать.

Примечание 1: Сказка написана для случая n₀=3. Пользуясь методом полной математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай любого n>n₀. Примечание 2: Обратное, вообще говоря, неверно.

Ю.Конобеев, В.Павлинчук, Н.Работнов, В.Турчин, Издательство "Мир", 1968