Почему x⁰=1 при любом значении x?

Шпаргалки для юных математиков

Каким продуманным и толковым кажется нам все, что мы сотворили, какими элегантными и ясными кажутся подведенные под это формулировки, настолько удачными и справедливыми представляются трактовки свойств окружающего мира, что невозможно себе представить, как кто-то не смог бы постичь элементарности доступных знаний. Но как только к нам обращается ребенок со своими детскими вопросами, грезы азбучности сотворенных познаний растворяются в один миг. В первую секунду берет оторопь от примитивности затронутой темы. Вроде бы немедленно способен ответить на такой пустяк, но вдруг натыкаешься на собственную неубедительность в ответе. Первые растерянные комментарии вызывают прежде всего у себя самого ощущение легкого шока от разницы между слывущей легкостью и реальной сложностью предмета обсуждения. Еще через короткое время начинаешь сомневаться, что сам до конца понимаешь детали этой "простой" дисциплины.

Дети славятся удивительным умением находить закавыки, где взрослому все чудится безупречным. На каждый невинный детский вопрос обязательно найдется качественное истолкование, это дело техники образовательного процесса. Но порой и в нем маленькие "почемучки" своими неуклюжими вопросами вскрывают отсутствие пунктуальности, или даже утонченное желание взрослых не спускаться до мелочей. В качестве подобного примера рассмотрим сногсшибательный вопрос: почему любое число, возведенное в степень 0, всегда равно единице? Практической выгоды от осознания ответа ребенок не получит никакой, просто хочется ему знать почему. И как же взрослому подступиться к ясному ответу?

Если поднять учебник или справочник по математике, то прочитаем ребенку обычное: xⁿ - степенью действительного числа x с натуральным показателем n является произведение n сомножителей, каждый из которых равен числу x. В народе говорят, число x надо умножить на само себя n раз (что, между прочим, абсолютно неверно с точки зрения математики: ведь строго придерживаясь такой народной инструкции, для выражения, ну допустим, x⁵ требуется умножить x на себя 5 раз, то есть x·x·x·x·x·x=x⁶). Ну так указанное в математическом справочнике определение степени числа ребенок и так знает. А как быть в случае n=0? Ведь тогда число x ни разу на само себя не умножаем, то есть сомножителей попросту нет. Так почему же результат равен единице?

Чтобы найти ответ, придется пролистать немало математических книг, пока случайно не наткнемся на точную формулировку, из которой наконец станет ясно, что xⁿ - это единица, умноженная n раз на число x (упомянутая народная формулировка неточна: не x надо умножить на себя n раз, а именно единицу умножить на x ровно n раз). Если показатель степени n=0, тогда останется лишь единица более ни на что не умноженная. Вот здесь и заключен весь секрет, причем нужно признать, что школьные учебники и математические справочники умалчивают о таких подробностях, обычно ограничиваясь заклинанием: x⁰=1.

На всякий случай стоит еще напомнить: если показатель степени равен отрицательному числу (то есть x^-n), тогда это единица, деленная n раз на число x. Таким образом, следующие понятные нам раскладки степеней на самом деле не вполне корректны, хотя допустимы к употреблению.

Математически корректно они записываются вот так:

Пользы здесь особой нет, но теперь ребенок поймет математическое устройство степени числа. Знать можно многое, понимать не всегда. Пусть ему чаще светит знак равенства между этими словами.

Дмитрий Сахань, 14 декабря 2004 года