Сколько будет нуль разделить на нуль?

Шпаргалки для юных математиков

Это еще один из тех ошарашивающих детских вопросов, касающихся занимательной математики, на который с первого взгляда ответить так легко: "На нуль делить нельзя!", однако редко кому из родителей удается понятно объяснить, почему именно нельзя, а также работает ли это правило в отношении деления нуля на нуль. Попробуем разобраться, тем более что нуль - удивительное число с чудными качествами.

Представим, будто за столом собрались 10 человек и принесли с собой 20 яблок. Если делить яблоки поровну на всех, то каждому достанется по 2 яблока (20 разделить на 10 равно 2). Число 20 называется "делимое", поскольку оно расчленяется на какое-то количество частей. Число 10 называется "делитель", так как оно указывает, что как раз на столько частей будет расчленяться делимое число. Число 2 называется "частное" (слово произошло от существительного "часть"), ведь оно демонстрирует количество исходных объектов (в нашем примере это были яблоки), оказавшихся в любой из расчлененных частей.

Так вот операция деления считается разрешенной, если при умножении частного и делителя мы снова получаем делимое, то есть 20/10=2 - верная операция, потому что 2·10=20. Математически данное правило, называющееся определением делимости, звучит так: целое число a делится на целое число b в том случае, когда существует такое целое число c, которое при умножении на число b дает число a.

По этому правилу получается, что всякое ненулевое число невозможно разделить на нуль, например 10/0=?, поскольку обратное умножение результирующего числа (частное ?) на нуль приведет только к нулевому результату, но ни в коем случае не к исходному ненулевому числу. Проще говоря, 10/0=? - запрещенная операция, так как невозможно решить ?·0=10.

Однако упомянутое выше правило говорит и о том, что нуль можно разделить на любое число, включая сам нуль, поскольку обратное умножение частного и делителя всегда приводит к исходному числу - делимому "нуль". Например, 0/27=0 - верная операция, ведь обратно получаем 27·0=0. Еще пример: 0/0=0 - "верная" операция, ведь и здесь получаем 0·0=0. Так что сама по себе операция деления нуля на нуль, согласно логике указанного правила, не считается неверной.

И все-таки последняя приведенная операция деления, где слово "верная" мы взяли в кавычки, отнесена математикой к разряду запрещенных. Сделано это по следующей причине. Результатом подобной операции с полной справедливостью может быть абсолютно любое число, какое только пожелаете. В самом деле, 0/0=5, поскольку легко получаем 5·0=0. И в то же время 0/0=6, так как снова легко получаем 6·0=0. И так далее. Какое бы мы число ни взяли, никогда не натолкнемся на противоречие.

Разумеется, математике такие "фокусы" не нужны, когда по воле вычисляющего одно и то же выражение дает непредсказуемый итог. Именно для упреждения неразберихи было принято безусловное требование "На нуль делить нельзя в любом случае". Относительно деления ненулевого числа на нуль это требование имеет 100-процентную основу, ибо действительно невозможно найти такое частное, чтобы при умножении на нуль оно давало ненулевое делимое. Касаемо деления нуля на нуль основание имеет эквивалентную силу, просто построено оно на том несокрушимом факте, что неизвестная x, принимающая в выражении 0/0=x одновременно бесконечное множество значений, не может в один момент времени иметь более одного значения. То есть последнее основание опирается на возникающее противоречие.

Дмитрий Сахань, 7 мая 2005 года