Почему математическая константа e фундаментальна?

Шпаргалки для юных математиков

Речь пойдет об удивительной константе, применяемой в математике, но почему константе придается такая значимость, это обычно оказывается за пределами понимания обывателя.

Математическую константу e иногда называют число Эйлера, а в большинстве случаев неперово число в соответствии с историей рождения константы.

В начале 17 века были изобретены логарифмы, они представлялись больше как вычислительный инструмент, потребный астрономам для упрощения трудоемких вычислений, связанных с большими числами. И первым изобретателем логарифмов стал шотландец Джон Непер, одаренный математик-любитель. Он же и ввел термин "логарифм"; слово это образовано двумя греческими словами logos и arithmos - в буквальном переводе означает число, изменяющее отношение. Причем изменение отношения подразумевалось в количестве знаков, которым записано некоторое число, по сравнению с каким-то базовым числом, которое в дальнейшем стало называться основание логарифма.

Например, 100=10·10=10²; если 10 считать базовым числом, тогда показатель степени 2 указывает изменение отношения, выраженное в знаках, между числами 10 и 100. То есть 10=10¹ и 100=10², следовательно в знаковом отношении: сотня больше десятки на 2-1=1 знак, или непосредственно в числовом отношении: сотня больше десятки в 10^2-1 раз.

Тут же уточним, что Джон Непер изобрел логарифмы без мысли о необходимости и возможности основания у логарифма, то есть того базового числа, относительно которого вычисляется изменение отношения в знаках. Поэтому в вычисленных им таблицах логарифмов, выпущенных в свет в 1614 году под названием "Описание удивительных таблиц логарифмов", вообще не указывалось основание и, естественно, не определялся такой термин. Когда впоследствии логарифмы дополнили понятием основания, то неуказанное в таблицах Непера основание на самом деле оказалось обратным некоторой величине, и когда эта величина (константа e=2,7182818284590452353602874713526...) позже всплыла в расчетах других математиков, ее окрестили неперово число в честь Джона Непера и приняли, что константа e является основанием натуральных логарифмов.

Сегодня приняты следующие соглашения. Для обозначения логарифма числа x по какому-либо основанию a применяется запись log_ax. Для натурального логарифма (его иногда называют неперов логарифм), основанием которого является константа e, - запись ln x (ей же эквивалента запись log_ex). Для десятичного логарифма - запись lg x (ей же эквивалента запись log₁₀x).

Комментарий: Целую часть логарифма числа называют характеристика логарифма, его дробную часть - мантисса логарифма. Кроме того, логарифм числа может интерпретироваться по-разному. Типично это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получилось исходное число. Например, log₁₀1000=3 и значит 10³=1000. Следующая интерпретация (для чисел больших или равных единице): это количество знаков (плюс показатель степени основания логарифма), которым записывается исходное десятичное число в системе счисления с таким же основанием, как и основание логарифма. Например, log₁₀1000=3 и значит число 1000 записывается в 10-ичной системе счисления 3+1=4 знаками (прибавление единицы обусловлено тем, что в основании логарифма находится число 10=10¹). Если точнее, подобная интерпретация задается выражением [log_ax]+log_aa=[log_ax]+1, где квадратные скобки обозначают "целая часть числа" (это и есть характеристика логарифма). Существуют и прочие интерпретации.

Снова вернемся к нашей теме. Принятое по соглашению специальное обозначение для десятичных логарифмов (lg x=log₁₀x) вряд ли кого-то смутит, ибо мы привыкли изо дня в день пользоваться 10-ичной системой счисления, отчего разумным выглядит однозначно пометить то средство, которым точно вычисляется, допустим, количество десятичных знаков в десятичном числе. Например, [log₁₀92351]+1=[4,96...]+1=5 знаков в десятичном числе 92351.

Хотя для двоичных логарифмов (log₂x) отдельного обозначения нет, все же и такое обозначение, если бы его ввели, не приведет к замешательству в силу понимания того, насколько глубоко проникла в нашу жизнь 2-ичная система счисления посредством развития информационных технологий. Здесь двоичный логарифм позволяет легко определить, каким количеством двоичных знаков будет записано десятичное число в двоичной системе счисления. Скажем, [log₂92351]+1=[16,49...]+1=17 знаков (в двоичной системе их называют битами) потребуется для записи в двоичной системе счисления десятичного числа 92351 (вот его действительная запись: 10110100010111111₂; индекс 2 подсказывает нам, что число записано в 2-ичной системе счисления).

Иначе говоря, фундаментальность констант 10, 2, 16 (шестнадцатеричная система счисления, применяемая в программировании) и прочих понятна. Она, в общем-то, иллюзорная, обусловленная в одном случае сложившимся предпочтением человечества к счету десятками, во втором случае - созданием вычислительных устройств на базе элементов двоичной логики, в следующих случаях - иными причинами.

Но тогда чем же так примечательно неперово число, если натуральный (e-ричный) логарифм удостоили по соглашению отдельного обозначения?

Чтобы ответить на этот вопрос, пропустим фрагмент истории и остановимся на моменте, когда Леонард Эйлер установил основное соотношение, связывающее показательную и тригонометрические функции: e^i·w=cos w+i·sin w, где i - мнимая единица (корень квадратный из -1), и w - угол наклона радиус-вектора на комплексной плоскости. (Кстати, константу e называют еще и число Эйлера потому, что он, во-первых, на деле показал эффективные пути ее применения, а также скрытую ее значимость, и во-вторых, именно он впервые употребил ее под символом e.) Понимается установленное Эйлером соотношение следующим образом.

Комплексное число - это число вида x+iy, где x и y - действительные числа (любое положительное число, отрицательное или нуль), а i - так называемая мнимая единица. Кроме того, число x называется действительной частью комплексного числа, число y - его мнимой частью. Натуральные числа (целые положительные числа), как и действительные числа, - это частный случай комплексного числа при его нулевой мнимой части (то есть при y=0). Например, натуральное число 25 есть комплексное число 25+0i.

Так вот геометрически каждое комплексное число обозначается точкой плоскости с прямоугольными координатами x и y. Теперь если нарисовать на плоскости круг с центром в начале системы координат, то на линии круга окажется бесконечное множество точек, каждая из которых обозначает некоторое комплексное число. Далее можем наклонить радиус-вектор r (вообще такой буквой принято обозначать модуль комплексного числа, то есть длину радиус-вектора) на определенный угол w так, чтобы край радиус-вектора коснулся лежащей на линии круга координатной точки какого-нибудь комплексного числа z. Выходит, угол наклона радиус-вектора (этот угол называют аргументом комплексного числа) являет собой подобие указателя направления из начала системы координат на комплексное число, точнее на его геометрическое место на плоскости.

Вырисовывается следующая проблема. Пусть у нас имеется комплексное число z, принадлежащее изображенному кругу. Как узнать направление на геометрическое место данного числа на плоскости, то есть угол наклона радиус-вектора? Здесь и пригодится формула Эйлера, только правую часть заменим исходным числом z: e^i·w=z. Как теперь получить i·w? Вычислить логарифм числа z по основанию числа e, которое стоит в левой части равенства. А это число есть неперово число, и логарифм такой называется натуральным. Затем обретенное i·w останется разделить на мнимую единицу - вот и получим искомый угол наклона.

Таким образом, отдельное обозначение для натуральных логарифмов действительно оправдано как маркировка средства поиска "направления" на геометрическое место числа на плоскости. Вот вам и еще одна интерпретация логарифма числа.

Все же мы ни словом не обмолвились, чем обусловлена фундаментальность константы e. Вымышлена ли ее важность, как в случае констант 10, 2 и тому подобных, или же имеют место некие значимые особенности, демонстрирующие ее исключительность?

Широкодоступная литература по математике почти никак не освещает неперово число с позиции демонстрации его уникальности, поэтому читателю предлагается следующий иллюстративный шаг.

Возьмем показательную функцию x=y^x и построим ее график, изображающий распределение чисел, которые при возведении в степень в результате дают число, равное этой же степени. Значит координаты для оси y будут задаваться в таком случае как y=^x√x, то есть корень x-ной степени из числа x.

Функция при положительных значениях x довольно быстро возрастает, достигает максимума в координате x=e, y_max и затем убывает, неограниченно приближаясь к единице. Так вот координата по оси x единственной точки максимума данной функции на положительном участке этой оси как раз равна в точности значению неперова числа, что прекрасно иллюстрирует его уникальность. Вместе с тем отблеск уникальности падает и на число y_max=^e√e=1,4446678610097661336583391085964..., поскольку нет числа большего, возводя которое в степень получается равное этой же степени число.

На всякий случай изобразим тот же график в сжатом вдоль оси x виде, просто чтобы иметь полное зрительное представление о том, как ведет себя функция в фазе убывания.

Что еще можно сказать о неперовом числе? Это иррациональное число, то есть не могущее быть точно выраженным дробью a/b с целыми числами a и b, хотя если попытаться записать его десятичной дробью, она окажется бесконечной и непериодической. Это число к тому же трансцендентное, то есть не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Интересно, что первым эту константу приближенно получил швейцарский математик Якоб Бернулли, пытаясь вычислить значение предела, к которому стремится указанное на следующем рисунке выражение при неограниченном возрастании числа x. Для удобства читателю красным цветом записано непосредственное выражение предела, синим цветом изображен график данного выражения. Кривая сначала быстро возрастает, затем возрастание постепенно замедляется, приближаясь в бесконечности к горизонтальной линии с координатой y=e.

Неперово число также обнаруживается и следующим пределом, к которому стремится указанное ниже выражение при неограниченном убывании числа x до нуля. На рисунке опять красным цветом записано выражение предела, синим - график этого выражения. Здесь наоборот: чем ближе x к нулю, тем ближе выражение к константе e.

Измеряется неперово число и другими манерами, в частности суммой бесконечного ряда обратных факториалов чисел (факториал числа принято обозначать следуемым за числом восклицательным знаком; понимается факториал как произведение всех натуральных чисел от 1 до заданного числа; факториал нуля полагают равным единице), то есть e=∑1/x! при x=0..∞.

Эти необычные особенности неперова числа обеспечили ему не только роль фундаментальной математической константы, но и важное место в аппарате математического анализа - дифференциальном и интегральном исчислениях, чему немало способствовали труды Леонарда Эйлера и других известных математиков, в частности установление связующего отношения показательной и тригонометрических функций. А показательную функцию y=e^x стали называть экспоненциальной функцией, или экспонентой, обозначая ее еще и как exp(x). Примечательной особенностью данной функции оказалась ее неизменность при дифференцировании, то есть ее производной является сама же экспоненциальная функция.

Комментарий: Производную удобно толковать как функцию скорости изменения величины. Скажем, мы построили график какой-нибудь функции, который отражает функциональную зависимость изменения некоторой величины. В одних местах кривая графика могла быстро возрастать или убывать, в других местах - возрастать или убывать медленнее. Иными словами, величина может изменяться с непостоянной скоростью. Функция, которая описывает скорость изменения величины (не само изменение величины, а именно скорость изменения), называется производной. В свою очередь и на графике производной могут оказаться участки, непостоянные по скорости возрастания или убывания отображаемой графиком величины. Следовательно, имеет место скорость изменения скорости изменения величины, и, выраженная функцией, она называется второй производной, или же производной второго порядка. И так далее. Так вот скорость изменения экспоненты (функция y=e^x) имеет такой же график, как и график экспоненты. Скорость изменения скорости изменения экспоненты имеет точно такой же график.

Дмитрий Сахань, 14 сентября 2005 года