Задача: доказать иррациональность корня n-ой степени из натурального числа n

Шпаргалки для юных математиков

Потребовалось мне по делу отыскать доказательство следующей гипотезы: числа вида ⁿ√n при натуральном n, большем единицы, являются иррациональными (не представимыми дробью p/q натуральных чисел). Излагаю доказательство в 4 шага. Первые два аналогичны доказательству Евклида иррациональности числа √2 (это частный случай чисел ⁿ√n). Остальные шаги еще проще.

1) Исходим от противного, для чего предполагаем верным равенство ⁿ√n=p/q.

2) Возводим обе части равенства в n-ую степень и получаем n=pⁿ/qⁿ.

3) Поскольку число n натуральное, значит дробь pⁿ/qⁿ обязательно сокращается до n-ой степени какого-нибудь натурального числа a, отчего заменой дроби на aⁿ приходим к равенству n=aⁿ.

Комментарий: Проиллюстрировать обязательность сокращения дроби pⁿ/qⁿ не составит труда. Разложив числитель и знаменатель в произведение простых множителей a, b, c и так далее, получим n/1=pⁿ/qⁿ=aⁿbⁿcⁿ.../bⁿcⁿdⁿ..., затем, сократив одинаковые множители, в знаменателе дроби непременно останется единица (так как было n/1=.../...), в числителе же останется произведение несокращенных множителей, возведенных в n-ую степень, и это произведение можно записать одним числом в n-ой степени.

4) Прологарифмируем полученное равенство n=aⁿ, избрав для этой цели логарифм с основанием a. Тогда придем к log_an=log_aaⁿ=n.

Вывод: числа вида ⁿ√n с оговоренными в задаче условиями не могут быть рациональными, так как в этом случае возникает противоречивое равенство log_an=n, ибо логарифм числа при положительном целом основании, большем единицы, не может быть равен самому числу.

Дмитрий Сахань, 23 октября 2005 года