Задача: доказать делимость a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹ на a+b

Шпаргалки для юных математиков

Преподнесу задачу в форме теоремы: выражение a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹ с целым неотрицательным n всегда делится нацело на a+b. Мое доказательство состоит в следующем.

1) Возьмем бесконечно большое число 2n+1 и запишем такое равенство: a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹=(a+b)(a²ⁿ+b²ⁿ-k), где k - какое-то целое число.

2) Раскрываем скобки. Получаем: a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹=a²ⁿ⁺¹+b²ⁿ⁺¹+a²ⁿb+ab²ⁿ-k(a+b).

3) Сокращаем в обеих частях равенства члены a²ⁿ⁺¹ и b²ⁿ⁺¹. Получаем: 0=a²ⁿb+ab²ⁿ-k(a+b).

4) Переносим член k(a+b) в левую часть. Получаем: k(a+b)=a²ⁿb+ab²ⁿ. После вынесения в правой части множителя ab за скобки имеем k(a+b)=ab(a^2n-1+b^2n-1).

5) Ясно, что если выражение в скобках правой части последнего равенства будет делиться на a+b, о чем мы пока еще не можем судить определенно, то теорема будет доказана. Но поскольку это выражение тоже содержит нечетный показатель степени, к нему применимы проделанные шаги 1..4 с возникновением очередного вопроса: делится ли на a+b вновь полученное в скобках выражение a^2n-3+b^2n-3. Для этого выражения опять применимы шаги 1..4 с очередным вопросом о следующем полученном выражении с еще меньшей нечетной степенью. Так как показатель степени каждый раз уменьшается на 2, то наше рассуждение справедливо для всех положительных нечетных степеней, и в конце концов мы достигнем степени, равной 1. А выражение в этой степени как раз и есть a+b. Следовательно, теорема доказана.

Вывод: выражение a^x+b^x при всяком нечетном натуральном x=2n+1 непременно делится нацело на a+b. Отсюда можно также получить формулу разложения выражения a^x+b^x при нечетном x на множители: a^x+b^x=(a+b)(a^x-1+b^x-1-ab(a^x-3+b^x-3-ab(a^x-5+...-ab(...-ab(a²+b²-ab))))). Ведь исходя из соображения a^x+b^x=(a+b)(a^x-1+b^x-1-k₁), в конце концов имеем k₁(a+b)=ab(a^x-2+b^x-2), где выражение в правых скобках тоже представляется как a^x-2+b^x-2=(a+b)(a^x-3+b^x-3-k₂) уже со своим коэффициентом k₂. Следовательно, после сокращения a+b, имеет место равенство k₁=ab(a^x-3+b^x-3-k₂). Аналогично будет и с коэффициентом k₂, а также и всеми рекурсивно появляющимися другими вплоть до некоторого k_i, который неизбежно окажется равен просто ab. Указанную выше формулу разложения на множители можно представить и в другом виде, в виде широкоизвестной формулы a^x+b^x=(a+b)(a^x-1-a^x-2b¹+a^x-3b²-...+a²b^x-3-a¹b^x-2+b^x-1).

Дмитрий Сахань, 8 августа 2006 года