Партнеры

Счетчики








Задача: доказать делимость a2n+1+b2n+1 на a+b

Шпаргалки для юных математиков

Преподнесу задачу в форме теоремы: выражение a2n+1+b2n+1 с целым неотрицательным n всегда делится нацело на a+b. Мое доказательство состоит в следующем.

1) Возьмем бесконечно большое число 2n+1 и запишем такое равенство: a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n+b2n-k), где k - какое-то целое число.

2) Раскрываем скобки. Получаем: a2n+1+b2n+1=a2n+1+b2n+1+a2nb+ab2n-k(a+b).

3) Сокращаем в обеих частях равенства члены a2n+1 и b2n+1. Получаем: 0=a2nb+ab2n-k(a+b).

4) Переносим член k(a+b) в левую часть. Получаем: k(a+b)=a2nb+ab2n. После вынесения в правой части множителя ab за скобки имеем k(a+b)=ab(a2n-1+b2n-1).

5) Ясно, что если выражение в скобках правой части последнего равенства будет делиться на a+b, о чем мы пока еще не можем судить определенно, то теорема будет доказана. Но поскольку это выражение тоже содержит нечетный показатель степени, к нему применимы проделанные шаги 1..4 с возникновением очередного вопроса: делится ли на a+b вновь полученное в скобках выражение a2n-3+b2n-3. Для этого выражения опять применимы шаги 1..4 с очередным вопросом о следующем полученном выражении с еще меньшей нечетной степенью. Так как показатель степени каждый раз уменьшается на 2, то наше рассуждение справедливо для всех положительных нечетных степеней, и в конце концов мы достигнем степени, равной 1. А выражение в этой степени как раз и есть a+b. Следовательно, теорема доказана.

Вывод: выражение ax+bx при всяком нечетном натуральном x=2n+1 непременно делится нацело на a+b. Отсюда можно также получить формулу разложения выражения ax+bx при нечетном x на множители: ax+bx=(a+b)(ax-1+bx-1-ab(ax-3+bx-3-ab(ax-5+...-ab(...-ab(a2+b2-ab))))). Ведь исходя из соображения ax+bx=(a+b)(ax-1+bx-1-k1), в конце концов имеем k1(a+b)=ab(ax-2+bx-2), где выражение в правых скобках тоже представляется как ax-2+bx-2=(a+b)(ax-3+bx-3-k2) уже со своим коэффициентом k2. Следовательно, после сокращения a+b, имеет место равенство k1=ab(ax-3+bx-3-k2). Аналогично будет и с коэффициентом k2, а также и всеми рекурсивно появляющимися другими вплоть до некоторого ki, который неизбежно окажется равен просто ab. Указанную выше формулу разложения на множители можно представить и в другом виде, в виде широкоизвестной формулы ax+bx=(a+b)(ax-1-ax-2b1+ax-3b2-...+a2bx-3-a1bx-2+bx-1).

Дмитрий Сахань, 8 августа 2006 года