Задача: доказать наличие областей любой длины сплошь из составных чисел

Шпаргалки для юных математиков

Точная формулировка задачи такая: покажите, что в ряде натуральных чисел присутствуют области какой угодно наперед заданной длины, сплошь заполненные составными числами. Ее решение состоит в следующем.

1) Пусть длина искомой области задана натуральным числом n. Возьмем факториал следующего за ним числа. Тогда число (n+1)!+2 будет делиться нацело на 2, так как оба слагаемых делятся на двойку. То есть это число вне всякого сомнения оказывается составным. Следующее за ним число (n+1)!+3 будет делиться нацело на 3. Значит оно тоже составное. Следующее число (n+1)!+4 опять составное, так как делится на 4, следующее число (n+1)!+5 делится на 5, ... и, наконец, число (n+1)!+(n+1) делится на n+1.

2) Таким образом, для всякого заданного n в ряде натуральных чисел всегда обнаруживается как минимум (n+1)-1 соседствующих составных чисел. Соответственно, искомая область начинается от числа (n+1)!+2. Аналогичные по длине ей области ("клоны") сплошь из заданного количества составных чисел начинаются в доле прочих возможных вариантов и от чисел, например, вида a((n+1)!+2), где a - натуральное число.

3) Для областей с длинами n>2 справедливо и другое размышление: все ниспадающие в сторону начала числового ряда соседствующие числа от (n+1)!-2 до (n+1)!-(n+1) тоже оказываются составными. Следовательно, по обеим сторонам числа (n+1)! зеркально отражена одинаковой длины область сплошь из составных чисел. Левый край одного отражения области находится в числе (n+1)!-(n+1), правый край его - в числе (n+1)!-2. Левый край второго отражения области - в числе (n+1)!+2, правый край его - в числе (n+1)!+(n+1).

4) Еще одно размышление: если длина области задана четным числом, тогда по крайней мере одно число сверх этой области является составным, так как последнее в области число (n+1)!+(n+1) оказывается нечетным, следовательно расположенное вслед за ним четное число уже делится на 2. Соответственно, для областей с длинами n>2 первое в зеркальном отражении области число (n+1)!-(n+1) тоже оказывается нечетным, а значит предшествующее ему число тоже составное, ибо делится на 2.

Дмитрий Сахань, 9 августа 2006 года