Задача: доказать теорему о разнице чисел в пифагоровых тройках

Шпаргалки для юных математиков

Пусть имеется такая теорема: во всякой тройке взаимно простых натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих решению уравнения a²+b²=c², большее число (в данном случае это будет c) всегда отличается от одного из меньших чисел ровно на квадрат, а от второго из меньших - на удвоенный квадрат. Необходимо доказать эту теорему, то есть на выбор: либо что c-b=x² и c-a=2y² (где под x и y подразумеваются какие-то натуральные числа), либо что c-a=x² и c-b=2y².

Доказательство: Обратимся к давно известным формулам вычисления троек взаимно простых чисел, являющихся решением заданного выше пифагорова уравнения: a=m²-n², b=2mn, c=m²+n² (где m и n - тоже натуральные числа; m>n). Тогда вычитая из c число b и далее заменяя оба эти числа указанными выражениями, несомненно получаем в результате квадрат числа: c-b=m²+n²-2mn=(m-n)². Вычитая из c число a, вне всякого сомнения получаем удвоенный квадрат числа: c-a=m²+n²-(m²-n²)=2n². Таким образом, теорема доказана.

Дополнительное утверждение: для всякого решения пифагорова уравнения во взаимно простых числах разница большего числа и одного из меньших непременно будет иметь общий делитель со вторым меньшим числом. Ведь a=m²-n²=(m+n)(m-n) и c-b=(m-n)²=(m-n)(m-n), следовательно число a и разница c-b имеют общий делитель m-n. И одновременно с этим b=2mn и c-a=2n², следовательно число b и разница c-a имеют общий делитель 2n.

Дмитрий Сахань, 20 сентября 2006 года