Операции над множествами

Мать и Матика

Говорят операции НАД множествами не потому, что они расположены "над" множествами, а просто так принято. Если НАД вашими волосами колдует парикмахер, это не значит, что результат его манипуляций окажется выше вашей прически. Но берегитесь хирурга, который проводит операции над больными.

Основных операций всего три. Это меньше, чем в школьной арифметике. Хотя даже это множество операций несколько избыточное. Операции называются ОБЪЕДИНЕНИЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ и ДОПОЛНЕНИЕ. Чем-то они напоминают школьные операции сложения, умножения и изменения знака. Но эта аналогия приблизительна и опасна, на то она и аналогия.

Начнем с исторической байки. Аксель Иванович Берг - адмирал и академик, человек с взрывным характером, был одним из первых пропагандистов кибернетики в СССР, когда она еще официально считалась "продажной девкой капитализма". Дискретную математику тогда в технических вузах не изучали из-за полной ее практической бесполезности, а кибернетика уже начинала ею робко пользоваться.

Во время беседы с одним "журналистом по научной тематике", который утверждал, что теория множеств не только не нужна, но и непонятна простому советскому инженеру, Берг прервал беседу и приказал своему шоферу отвезти их в ближайший детский садик. В детском садике дети играли в большом песочнике. Других развлечений в послевоенных садиках было мало. Берг нарисовал в песочнике два больших частично пересекавшихся круга, как это делают со свадебными кольцами на открытках и машинах. Для тех, кто со свадьбами в жизни не сталкивался, скажем, что с похожим перехлестом рисуют олимпийские кольца.

Далее он сказал: "Пусть в левый круг встанут все, кто любит манную кашу, а в правый - все, кто любит сливовый кисель!". Дети были горазды поесть (послевоенное время голодное), поэтому никто не остался равнодушно стоять в стороне и все забежали в нарисованные круги. Объединение всех этих маленьких сладкоежек и есть операция объединения теории множеств.

Но поскольку почти все дети из-за любви к каше и киселю одновременно встали в то место, где круги наложились друг на друга, то тем самым продемонстрировали понимание физического смысла операции пересечения двух множеств. "Ну вот! Не знаю как инженеры, а дети понимают смысл операций над множествами!", - сказал Берг.

Кстати, здесь роль универсума играл весь песочник. То, что нарисовал на песке Берг, называют сейчас диаграммами Эйлера-Венна. А то, что находилось на песке за пределами каждого из кругов, было дополнением соответствующего множества, то есть множеством элементов универсума, не принадлежащих к числу любителей данного кушанья (там находились Берг с журналистом).

Если рассмотреть внимательно студенческую группу УХ-004, то объединение множества отличников и спортсменов даст множество под названием "слава группы УХ-004". Принципиальное отличие объединения множеств от школьного сложения не только в том, что студенты - это не числа и мы их не пересчитываем, но и в том, что студенты, которые одновременно отличники и спортсмены, будут учтены один раз. Так что запросто может оказаться, что отличников четыре, а спортсменов двадцать, но их объединение под названием "слава группы УХ-004" будет содержать всего двадцать два студента.

Ясно, что пересечение этих множеств даст двух студентов, которые одновременно и отличники и спортсмены. Они, скорее всего, девушки, да еще и красавицы, но красота не использовалась здесь в качестве характеристики, по которой выделялись элементы этих множеств. Когда у математиков появляются в руках объекты, а у нас здесь раздолье - любые объекты можно брать, и операции - а мы основную тройку тоже обозначили, то математики начинают говорить об АЛГЕБРЕ.

Алгебра множеств как небо и земля отличается от школьной, хотя есть некоторые аналогии. В алгебре множеств есть те же названия законов: КОММУТАТИВНЫЙ, АССОЦИАТИВНЫЙ и ДИСТРИБУТИВНЫЙ (перестановочный, сочетательный и распределительный). Первые два похожи как две капли воды, упавшие с неба на землю. А вот дистрибутивный закон имеет и аналог в школьной алгебре (выражаясь "по-школьному", произведение суммы есть сумма произведений), но имеет и уникальную версию. В теории множеств, если тоже сказать кратко, то пересечение с объединением равно объединению пересечений и объединение с пересечением равно пересечению объединений. Второе не имеет аналогии в школьной алгебре: "Сумма с произведением не равна произведению сумм". Проиллюстрируем сказанное.

Коммутативный закон: Объединение (пересечение) отличников и спортсменов равно объединению (пересечению) спортсменов и отличников. Ассоциативный закон: От изменения порядка объединения (пересечения) спортсменов, отличников и красавцев результат не меняется. Дистрибутивный закон (только экзотическая версия): Объединение красавцев с пересечением спортсменов и отличников равно множеству, в котором пересекаются объединения красавцев и спортсменов с объединением красавцев с отличниками.

Сложновато воспринимается на слух закон поглощения, который, однако, в ряде случаев позволяет упрощать теоретико-множественные конструкции. Пересечение отличников с объединением отличников и спортсменов дает множество отличников. Или второй вариант. Объединение отличников с пересечением отличников и спортсменов дает множество отличников. Тем не менее, если обдумать сказанное и поразмахивать руками, то справедливость результатов очевидна.

Есть еще закон, название которого почему-то студентов забавляет - он им, видимо, что-то напоминает. А закон этот смело можно отнести к самым важным законам (свойствам). Это закон ИДЕМПОТЕНТНОСТИ. Объединение (пересечение) множества спортсменов с множеством спортсменов дает множество спортсменов.

Очень по-французски звучит закон Де Моргана: Дополнение объединения отличников со спортсменами равно пересечению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. И второй вариант. Дополнение пересечения отличников со спортсменами равно объединению дополнения множества спортсменов с дополнением множества отличников. За универсум (для дополнения) можно взять множество студентов группы (или университета, или мира - роли не играет). Возьмите реальных спортсменов с отличниками и убедитесь в справедливости закона.

Очень прост закон ДВОЙНОГО ДОПОЛНЕНИЯ. Дополнение дополнения множества спортсменов есть само множество спортсменов. Персонально для тех, кто успешно продирается через всю нашу словесную казуистику, можем сформулировать ближайшее следствие из этого закона. Дополнение дополнения дополнения множества спортсменов есть дополнение множества спортсменов.

Самыми экзотическими являются два закона: ПРОТИВОРЕЧИЯ и ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО.

Закон противоречия: Пересечение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов пусто. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты - не спортсмены, то у этого пересечения не может быть общих элементов.

Закон исключенного третьего: Объединение множества спортсменов с дополнением множества спортсменов совпадает с рассматриваемым универсумом. Действительно, коль скоро в дополнение множества спортсменов входят все остальные студенты - не спортсмены из универсума, то это объединение как раз и составляет весь универсум.

Остается только высказать сожаление, что не все математики согласны с этими законами. Еще большее сожаление вызывает то, что у них на это есть весьма веские основания. Не менее веские, чем у сторонников законов. Несогласные себя называют КОНСТРУКТИВИСТАМИ или ИНТУИЦИОНИСТАМИ. Согласным же ничего не осталось, как назвать самих себя КЛАССИКАМИ. С чем не согласны несогласные.

А.Е.Соловьев, soloviev.nevod.ru, 2001 год