Соответствия, отображения, отношения

Мать и Матика

Алгеброй далеко не исчерпывается все то, что можно сделать с множествами. В математике, как и в жизни, различные объекты могут чему-то соответствовать или не соответствовать. Находиться меж собой в определенных отношениях или наоборот - не находиться. И основой формализации, если угодно - математизации, здесь также служат множества.

То есть между множествами могут устанавливаться различные СООТВЕТСТВИЯ и ОТНОШЕНИЯ. Более того (а серьезные математики может быть даже сказали бы "прежде всего"), множества нередко могут ОТОБРАЖАТЬСЯ друг в друга и даже в самих себя.

Человек может соответствовать профессии, зарплата соответствовать должности, наказание - преступлению, оценка - знаниям. Глядя на многочисленные примеры вокруг, мы замечаем, что для определения конкретного соответствия надо определить два множества: множество (область) определения и множество (область) значений. А также определить "пары соответствий". Например, область определения - группа УХ-005, сдающая экзамен; область значений - отлично, хорошо, удовлетворительно, неудовлетворительно - множество оценок. И множество пар Иванов - отлично, Петров - хорошо, Сидоров - отлично. А Федоров - не явился. Вот вам и готовое соответствие. Соответствия обладают свойствами.

1. В данном случае соответствие НЕ-ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННОЕ, поскольку для Федорова в этом соответствии нет пары. Даже если бы мы написали в ведомости: Федоров - н/я, то это все равно не попало бы в соответствие, поскольку "н/я" нет в множестве допустимых значений. Если бы деканат своевременно исключил из ведомости Федорова как отчисленного, то это соответствие стало бы ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕННЫМ.

2. Соответствие ФУНКЦИОНАЛЬНО, поскольку каждому студенту соответствует не более одной оценки. Такое соответствие называют по-простому, ФУНКЦИЕЙ. В данном случае из-за Федорова это не всюду определенная функция. Никакой разницы со школьной функцией кроме той принципиальной, что здесь аргументами и значениями могут быть не только числа, а любые объекты. Кстати, не всем математикам нравится такое определение функции, хотя оно абсолютно строгое. Просто сказывается ревность к множествам с позиций некоторых других разделов математики.

Если бы за один экзамен студенты могли получать несколько оценок, то соответствие было бы НЕФУНКЦИОНАЛЬНЫМ. То есть не было бы функцией. Оно было бы "многозначной (недетерминированной) функцией", но это уже другая математика. Да и в жизни так не бывает.

3. Данное соответствие НЕИНЪЕКТИВНО, поскольку "отлично" получил более чем один студент. Если бы Сидоров из-за фатальной предрасположенности к несчастьям получил не "отлично", а "удовлетворительно" (или "неудовлетворительно"), то соответствие было бы ИНЪЕКТИВНЫМ. Получение студентами олимпийских медалей за победу в беге на 100 метров было бы примером инъективного соответствия.

4. Данное соответствие НЕСЮРЪЕКТИВНО, поскольку на экзамене были использованы не все возможные оценки. На реальных экзаменах обычно бывает задействован весь возможный спектр оценок, поэтому это соответствие бывает "по жизни" СЮРЪЕКТИВНЫМ. Естественно, сюръективно в данный момент приобретение билетов на Витаса.

5. Соответствие, которое одновременно ВСЮДУ-ОПРЕДЕЛЕНО, ФУНКЦИОНАЛЬНО, ИНЪЕКТИВНО и СЮРЪЕКТИВНО называется БИЕКТИВНЫМ. Еще его называют ВЗАИМНООДНОЗНАЧНЫМ, но так звучит менее красиво. Говорят, что самый убедительный пример биективного соответствия - головы на плечах. Возьмите множество голов, множество плеч и убедитесь во всех четырех свойствах. Криминальные варианты не предлагать!

Выделение соответствий в отдельную категорию предложили европейцы, а точнее французы, а еще точнее, Николя Бурбаки (это французский Козьма Прутков, числившийся в математиках-интеллектуалах). Американская школа считает соответствия частным случаем отношений. А у нас разговор про отношения отдельный - так легче разложить все по полочкам. Так что пришла пора поговорить об отношениях.

В математике, как и в жизни, различные объекты могут иметь какое-то отношение к другим объектам или не иметь. Родственные отношения, дружеские отношения, дипломатические отношения, равноправные отношения. Глядя на многочисленные примеры вокруг, мы замечаем, что отношения отличаются от соответствий тем, что определяются на одном множестве. Бессмысленно было бы говорить об отношениях между студентами и оценками. О дипломатических, родственных или любых других отношениях между должностью и зарплатой. Для определения конкретного отношения надо определить множество и пары, для которых имеет место данное отношение.

Например, на множестве людей отношения "быть братом", "учиться в одной группе" или "быть выше ростом". Отношения в силу специфики характеризуются иным перечнем свойств, нежели соответствия.

1. РЕФЛЕКСИВНОСТЬ. Это когда отношение обращено на себя. Ранее уже рассматривалось отношение включения. Поскольку любое множество включено само в себя, то отношение включения обладает свойством рефлексивности. Если верить народной мудрости, то и отношение "спасения" на множестве утопающих - рефлексивно.

2. АНТИРЕФЛЕКСИВНОСТЬ. Это когда отношение к самому объекту (всегда) неприменимо. Например, "перпендикулярность" на множестве прямых. Прямая не может быть перпендикулярна самой себе.

3. СИММЕТРИЧНОСТЬ. Если Иванов "учится в одной группе" с Петровым, то и обратное справедливо. Если прямая А "перпендикулярна" прямой B, то и обратное справедливо.

4. АНТИСИММЕТРИЧНОСТЬ. Если тысячу рублей можно "разменять" сотнями, то обратное не под силу даже фокуснику. Мрачноватый, но очень точный пример: "носить траур по кому-то".

5. ПОЛНОТА. Это самое сложное свойство, поскольку в отличие от всех остальных оно прежде всего "направлено" на само множество. Полнотой обладает отношение, которое для любой пары разных элементов данного множества выполнимо хотя бы "в одну сторону". Например, полнотой обладает отношение "больше" для множества действительных чисел, ибо для двух разных действительных чисел одно обязательно больше другого. Но если мы к действительным числам добавим комплексные, то свойство полноты исчезнет. Если хотя бы одно из сравниваемых чисел будет комплексным, сравнение на "больше-меньше" теряет смысл.

6. ТРАНЗИТИВНОСТЬ. Если Иванов "учится в одной группе" с Петровым, а Петров с Сидоровым, то Иванов "учится в одной группе" с Сидоровым. Отношение включения тоже транзитивно. Если группа "включена" во множество студентов университета, а это множество "включено" во множество студентов страны, то множество студентов группы "включено" во множество студентов страны. Можно продолжить эту цепочку включений, прихватив галактику. И вот тут опять подводный камень казуистики!

Если студенческую группу рассматривать как элемент университета - множества, состоящего из групп, а университет как элемент высшей школы - множества, состоящего из университетов, то группа не является элементом высшей школы (там элементами являются университеты). То есть отношение "принадлежности" нетранзитивно. "Вассал моего вассала - ..."

Вернемся к функциональному соответствию, то есть к функции. Если это соответствие к тому же еще и всюду-определено, то оно называется ОТОБРАЖЕНИЕМ.

Если отобразить множество студентов в группе на множество фамилий в группе, то это скорее всего будет ОТОБРАЖЕНИЕ множества студентов НА множество фамилий. То есть сюръективное соответствие. Если же отобразить множество студентов группы на множество фамилий студентов университета, то говорят, что имеет место ОТОБРАЖЕНИЕ множества студентов ВО множество фамилий. То есть в области значений будут и "незадействованные фамилии".

Мы подошли к одному из самых фундаментальных, может потому и неблагозвучных понятий и теории множеств, и математики вообще. Мы подошли к ГОМОМОРФИЗМУ.

Пример. Отобразим множество точек участка земной поверхности на множество точек карты. Сейчас оставим в стороне то, что некое множество точек земной поверхности отобразится в одну точку на карте, в таких случаях неинъективность - обычное дело. Для нас существенно то, что чем выше точки земной поверхности над уровнем моря, тем в более коричневые точки карты они отображаются.

Таким образом, мы рассматриваем не просто множества элементов. В первом случае здесь между элементами множества существует отношение "выше", а во втором - "коричневее". Где выше в первом - там коричневее во втором. "Выше" и "коричневее" - это отношения, заданные на своих множествах.

Отображение земной поверхности НА карту не просто ставит всем элементам одного множества элементы другого. Но, кроме того, если между двумя элементами первого множества существует отношение "выше", то между их образами во втором множестве имеет место отношение "коричневее". Естественно, если точки земной поверхности лежат на одной высоте, то они отобразятся в точки карты с одинаковой коричневостью. Такое отображение называется ГОМОМОРФНЫМ. Или говорят, что между этими множествами существует ГОМОМОРФИЗМ.

Вернемся к тому, что слово не очень благозвучное, а по американским меркам и громоздкое. Поэтому последнее время все чаше используется более короткий (усеченный) термин - МОРФИЗМ. Морфизмы играют в математике исключительную роль. Коль скоро математику не без оснований часто отождествляют с математическим моделированием, то приведем афоризм из одной умной философской книжки: ХОРОШАЯ МОДЕЛЬ ВСЕГДА ГОМОМОРФНА. Афоризм в конце лекции провоцирует размышления. Чего бы и хотелось добиться...

А.Е.Соловьев, soloviev.nevod.ru, 2001 год