Математическая логика

Мать и Матика

Обычно настоящие математики не приспособлены к жизни. Посмотрите на них, если имеете возможность. Они где-то витают. Казалось бы, следует сделать исключение для логиков. Хотя бы потому, что поступки логиков должны быть наиболее логичны. Как бы не так! Все как раз наоборот! На самом-то деле логика строго оговаривает свои "правила игры" и действует в рамках этих правил пунктуально до беспощадности, граничащей с идиотизмом. При этом их логика с "логикой жизни" имеет не больше общего, чем вы найдете общего в шахматной и Бородинской битвах. Но все-таки есть что-то похожее, когда страсти с обеих противоборствующих сторон накаляются и дело доходит до рукопашной!

Кстати, основной клоунский прием: с фанатичным исступлением совершать некие формально логичные, но с точки зрения жизненной реальности абсурдные до идиотизма действия. Всем и прежде всего детям очевиден полный идиотизм происходящего, но клоун продолжает поступать ЛОГИЧНО! И ничто не в силах свернуть его с этого пути.

Вообще-то всяких разных логик много. Выражаясь более конкретно - бесконечно много. Поэтому будем говорить не о логике вообще, как это любят делать в некоторых учебниках для юристов, а о математической логике. Тем более что логики у юристов часто даже меньше, чем у политиков. А от политики предпочтительно держаться подальше. Математическая логика - понятие тоже достаточно неконкретное, из-за того что математических логик также бесконечно много. Здесь будем обсуждать некоторые из них, отдавая больше дань традиции, чем здравому смыслу. Поскольку, весьма возможно, в этом и заключен здравый смысл. Логично?

Математическая логика учит логично рассуждать не больше, чем любой другой раздел математики. Это связано с тем, что "логичность" рассуждений в логике определяется самой логикой и корректно может использоваться только в самой логике. В жизни же мы, размышляя логически, как правило, используем разные логики и разные методы логических рассуждений, безбожно перемешивая дедукцию с индукцией. Более того, в жизни мы строим свои рассуждения исходя из противоречивых посылок, например "Не откладывай на завтра, что можно сделать сегодня" и "Поспешишь - людей насмешишь". Нередко бывает, что непонравившийся нам логический вывод приводит к пересмотру исходных посылок (аксиом).

Пожалуй, настало время сказать про логику, возможно, самое главное: классическая логика не занимается смыслом. Ни здравым, ни каким другим! Для изучения здравого смысла, между прочим, существует психиатрия. Но в психиатрии логика скорее вредна. Хотя, например, так называемые репертуарные решетки и говорят о некоторых успехах в этом направлении.

Разумеется, размежевывая логику со смыслом, имеем в виду прежде всего классическую логику. Нет запретных направлений в математике, поэтому исследование логикой смысла и наоборот в различных видах присутствует в ряде современных ответвлений логической науки. Хорошо сложилось последнее предложение, хотя определить термин "логическая наука" не возьмусь даже приблизительно.

Смыслом, если угодно - семантикой, занимается, например, теория моделей. Да и вообще термин семантика часто заменяют термином интерпретация. И если мы согласимся с философами, что интерпретация (отображение!) объекта есть осмысление его в некотором данном аспекте, то пограничные сферы математики, которые могут привлекаться для наступления на смысл в логике, становятся неохватными!

В практическом плане семантикой вынуждено интересоваться теоретическое программирование. А в нем, кроме просто семантики, есть и операционная, и денотационная, и процедуральная и так далее и тому подобные семантики.

Еще лишь упомянем апофеоз - ТЕОРИЮ КАТЕГОРИЙ, которая довела семантику до формального малопонятного синтаксиса, где смысл уже настолько простой, разложенный по полочкам, что до него простому смертному совсем невозможно докопаться. Это для избранных.

Так чем же занимается логика? Хотя бы в самой классической ее части? Логика занимается только тем, чем она занимается. А это она определяет предельно строго. Главное в логике - это строго определиться! Задать аксиоматику. А дальше логические выводы должны быть в значительной степени автоматическими. Другое дело рассуждения по поводу этих выводов! Но эти рассуждения уже вне рамок логики! Поэтому в них требуется строгий математический смысл!

Может показаться, что это простая словесная эквилибристика. НЕТ! В качестве примера некоторой логической (аксиоматической) системы возьмем известную игру 15. Зададим (перемешаем) начальное расположение квадратных фишек. Далее игрой (логическим выводом!), а конкретно - перемещением фишек на свободное место, может заниматься некое механическое устройство, а вы можете терпеливо смотреть и радоваться, когда в результате возможных передвижек в коробочке сложится последовательность от 1 до 15. Но никто не запрещает контролировать механическое устройство и подсказывать ему ИСХОДЯ ИЗ здравого СМЫСЛА правильные перемещения фишек, чтобы ускорить процесс. А может быть даже доказать, используя для логических рассуждений, например, такой раздел математики как КОМБИНАТОРИКА, что при данном начальном расположении фишек получить требуемую финальную комбинацию невозможно вообще!

Не больше здравого смысла присутствует и в той части логики, которую называют ЛОГИЧЕСКОЙ АЛГЕБРОЙ. Здесь вводятся ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ и определяются их свойства. Как показала практика, в некоторых случаях законы этой алгебры могут соответствовать логике жизни, а в некоторых нет. Из-за такого непостоянства законы логики нельзя считать законами с точки зрения практики жизни. Их знание и механическое использование может не только помогать, но и вредить. Особенно психологам и юристам. Ситуация осложняется тем, что наряду с законами алгебры логики, которые то соответствуют, то не соответствуют жизненным рассуждениям, есть логические законы, которые часть логиков категорически не признают. Это относится прежде всего к так называемым законам ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО и ПРОТИВОРЕЧИЯ. Более подробно о них поговорим потом.

А.Е.Соловьев, soloviev.nevod.ru, 2001 год