Треклятая загадка из прошлого

При написании нижеследующего реалистично-фантастического и фантастично-реалистического рассказа ни один математик не растворился в бесконечности, основания математики не рассыпались в произведение простых сомножителей, животные и флора остались неделенными на дроби. Доля незлобивого юмора уместна, обстоятельства оправдывают. Имена героев изменены, а сами герои вообще вымышлены. Правда, кое-кто так и не поддался этой процедуре. События и факты размешаны, истина и выдумка сожительствуют. От всей внутренности выражается особая благодарность математике за предоставленные цифры, могучему и великому языку - за всякие слова, жанру фантастики - за изъезженный сюжет, нашей жизни - за нелепые реалии, любимому читателю - за терпеливые уши.

 

Когда незабвенный математик Эни - лучший друг конструктора Бэни - прослышал, что в своей лаборатории Бэни в тайне от всех завершил постройку элементарной повозки времени, Эни осенило идеей просить у Бэни право первого извоза, с чем он немедля часа пустился к другу. Долго Бэни упорствовал призывам товарища, но в конце концов сдался его натиску, тем более что Бэни для пробы своего детища требовался бесшабашный возница, который о риске вспоминает постфактум. Безудержно сияющие авантюрой глаза Эни лучше слов знаменовали трезвому конструктору о готовности друга на эту неприглядную роль. Потому Бэни согласился.

- Только никак не пойму, - с досадой вздохнул конструктор, - какой бес тащит тебя с первого раза прокатиться в середину 17 века?

- Да понимаешь, - Эни спортивно покачивался с ноги на ногу, - хочу задать Пьеру Ферма пару вопросов.

- Кто это? Чем тебя оскорбил?

- А, - отмахнулся Эни. - Один математик-самоучка. Очень толковый, зараза. В свое время он заявил, что равенство aⁿ+bⁿ=cⁿ не имеет решений в натуральных, то есть целых положительных числах для степени n больше 2.

- И чем это тебя цепляет? - Бэни слегка опешил.

- Я с детства нежил мечту доказать это утверждение Пьера. Наконец-таки я сделал это. - Эни вскинул голову и гордо встрямил руку в проем рубашки, заложив другую за спину, а затем рассмеялся своей позе. - Вообще говоря, мое доказательство было представлено математической общественности и в итоге признано верным. Я использовал теорию эллиптических кривых, попутно доказал гипотезу Таниямы-Шимуры о связи эллиптических кривых с модулярными формами, показал немодулярность кривой Фрея...

- Фу, - отчаянно замахал руками Бэни, - ну вас, математиков, в баню со своими теориями и терминами. Мне можешь не рассказывать. Я все равно ничего не пойму. Коль твое доказательство признали математики мира, чего еще нужно?

- Мучает меня сомнение. Ферма утверждал о существовании какого-то удивительного доказательства, но нигде не публиковал его. А мое доказательство все-таки очень сложное. Я хотел бы потолковать об этом с Пьером.

- А ты уверен, что корень его вопроса осмыслен верно, и что ты не похож на тех детей из шутки: "- Найдите неизвестную в x+2=10. - Да вот она, - и дети радостно тычут в уравнение"?

- Уверен. Но как говорят у нас в университете, если математик за компьютером не видит результат, нужно посадить его перед компьютером. Так и я хочу предстать перед Пьером.

- Ладненько, - приглашающим жестом ответил Бэни. - Вон повозка. Дерни за ту веревочку, назови час и место прибытия - и в путь! Если этот Пьер в самом деле математик, вы поймете другу друга и без переводчика. Кстати, не забудь: времени у тебя будет немного, ну может быть минут тридцать, а потом прошлое непроизвольно вытолкнет тебя назад.

Эни радостно вскочил в тарантас, козырнул от виска кому-то за горизонт со словами "Ты оставайся, а я поехала! Твоя крыша", затем что-то буркнул под нос и дернул шнурок.

 

...На заднем дворе старого дома стоял какой-то старик, задумчиво обратив взгляд вдаль. Из пустоты пространства на него вдруг вывалился некий чудаковатый тип. Старик испуганно отскочил.

- Здрасьте, - поднимаясь с четверенек, заговорил извиняющийся Эни. - Где это я?

Старик внимательно оглядел Эни, потом посмотрел вокруг и произнес:

- Вы у меня во дворе.

- Сдается мне, вы законченный математик, - кисло заметил Эни.

- С чего вы это взяли? - поморщился старик, все еще сохраняя настороженный вид.

- Вы прежде всего подумали, затем сообщили неоспоримую истину, а проку от нее мало.

- Вон оно как? - желчно изрек старик. - Тогда вы тоже, по всему видать, безнадежный математик.

- Почему? - вытаращил глаза Эни.

- Вопрос вы задали абстрактно, а ответ ожидали услышать конкретный.

- Ну а все же, где я?

- М-да, - печально тряхнул головой старик, - вы, оказывается, намного проще даже всякого простого числа. Я вам повторяю, вы у меня во дворе.

- Ух, неперовым числом вашу мать, - раздраженно дернулся Эни. - Век сейчас, век какой?

- Семнадцатый. И попрошу вас фильтровать математические действия, а то я вас живо поставлю знаком радикала.

- А вы кто? - осматриваясь по сторонам, уже спокойнее осведомился Эни.

- Я Пьер Ферма. Живу в этом доме.

- А я Эни из своего времени. Как раз вы мне были нужны.

- Зачем? - Старик опять насторожился.

- По поводу вашего утверждения, которое вы написали на полях книги "Арифметика" Диофанта. Если мне память не изменяет, кажется, на той странице рядом с восьмой задачей. Как вы там писали, дай Бог памяти? Вроде бы так: "Невозможно для куба быть записанным в виде суммы двух кубов, или для четвертой степени быть записанной в виде суммы двух четвертых степеней, или, в общем, для любого числа, которое есть степень больше двух, быть записанной в виде суммы двух таких же степеней". Припоминаете?

- Как же не помнить. Давно это было, но я не забыл. - Старик чему-то усмехнулся, а затем снова насторожился. - А вы, собственно говоря, чего хотите от меня?

- Сейчас объясню, - заторопился Эни, вспоминая фразу Бэни о получасовом лимите времени. - Я живу в будущем, почти на 350 лет вперед от вашей поры. За этот период ваше утверждение никому покоя не давало. Доказательство искали чуть ли не всем миром. В конце концов я нашел доказательство Великой теоремы Ферма.

- Ого! Откуда такое название - Великая? - Старик в недоумении возвел руки.

- Великая - потому что никому не поддавалась.

- Да вы что? - Старик офанарело всплеснул руками. - Вы в своем уме? Что значит - не поддавалась?

- Точно говорю, - виновато улыбнулся Эни. - Всем миром пытались решить три с полтиной столетия.

- И решили?

- Решили, - радостно протянул Эни.

- Хвала Богу! А от меня чего хотите?

- Мое доказательство очень сложное, оно занимает не один десяток страниц, использует теории, которых просто не было в 17 веке. Почти все наши математики думают, что вы не могли иметь тривиального доказательства своего утверждения.

- Думают!? - Старик аж поперхнулся от волнения. Он возмущенно заходил из стороны в сторону. - Думать надо над задачами! Я же в книге Диофанта человеческим языком написал, что знаю тому удивительное подтверждение. Читали?

- Конечно, читали, - запротестовал Эни. - Но какое оно?

Тут Эни поднял с земли палочку, присел и начал вычерчивать на мягком грунте формулы, нервозно комментируя ход своих мыслей:

- Ведь с самого начала было как день ясно, что доказательство отсутствия решений в натуральных числах для случая a⁴+b⁴=c⁴, которое вы не иначе как милостью божьей все же снизошли до труда записать в своих бумагах, обеспечивало автоматическим подтверждением такой же нерешаемости все случаи a^4x+b^4x=c^4x, где x - любое натуральное число. Это напрямую следует из того факта, что последнее равенство можно идентично записать в виде (a^x)⁴+(b^x)⁴=(c^x)⁴, которое есть ни что иное как уже известное нам уравнение в биквадратах. Но это лишь меньшая часть дела. Стоит только доказать отсутствие натуральных решений для случая a^p+b^p=c^p со всякой нечетной простой степенью p, как по той же аналогии одновременно будут доказаны и все случаи a^px+b^px=c^px со степенями на основе составных чисел. Таким образом, совокупно доказательства для (a^x)⁴+(b^x)⁴=(c^x)⁴ и (a^x)^p+(b^x)^p=(c^x)^p дадут непоколебимое подтверждение вашему знаменитому заявлению на полях в книге Диофанта. Позвольте теперь спросить, как же вы сподобились найти свидетельство отсутствия решений для нечетной простой степени p?

- А что вас здесь смущает? Вот вам для начала эквивалентное равенство: a^p+b^p=(a+b-d)^p, где d - подходящее натуральное число. Как видите, количество уникальных переменных осталось прежним - четыре штуки, то есть мы попросту сделали стопроцентно справедливую замену c=a+b-d, в результате чего становится возможным приступить к исследованию общих черт левой и правой частей равенства, а именно к анализу общих делителей. Вы знаете, что из левой части равенства в случае любой нечетной степени p можно легко вынести за скобки множитель a+b?

- Да, - ответил Эни. - Для этих целей есть популярная формула разложения таких вот биномов, каким есть левая часть предложенного уравнения, на множители. Сама формула имеет следующий вид: a^p+b^p=(a+b)(a^p-1b⁰-a^p-2b¹+a^p-3b²-a^p-4b³+...-a³b^p-4+a²b^p-3-a¹b^p-2+a⁰b^p-1). Запомнить ее запись не сложно по примете: в последних скобках слева направо у членов перемножения степень переменной a уменьшается с каждым разом от p-1 до нуля, в то время как степень переменной b увеличивается в обратном порядке, а также постоянно чередуются знаки плюс и минус. Так вот по данной формуле несомненно видно, что этот бином действительно включает в себя множитель a+b. Между прочим, ту же формулу можно записать и в несколько ином виде: a^p+b^p=(a+b)(a^p-1+b^p-1-ab(a^p-3+b^p-3-ab(...-ab(a⁴+b⁴-ab(a²+b²-ab))))). Эту запись можно запомнить по другой примете: в последних скобках всегда находится выражение a^p-1+b^p-1-ab(...), внутрь скобок которого вложено такое же выражение с показателем степени на 2 меньшим, а в скобки того выражения вложено следующее такое же с показателем на 4 меньшим, и так далее с уменьшением степени каждый раз на двойку, пока наконец не будет вложено последнее выражение a²+b²-ab уже без всяких скобок.

- Ну, это другое дело. Как вы квалифицированно и толково все объяснили. - Старику, видимо, доставили радость четкие и по-детски пространные комментарии Эни. - А сейчас, когда вы осведомлены о непременной делимости левой части равенства a^p+b^p=(a+b-d)^p на число a+b, посмотрите на правую часть и задайтесь вопросом, может ли она делиться на это число.

- Это возможно когда на число a+b делится d, - начал Эни, и немного подумав, добавил: - или если на указанное число делится d^p, так как разлагая на множители по формуле бинома Ньютона правую часть исходного уравнения, то есть выполняя (a+b-d)^p=(a+b)^pd⁰-C₁(a+b)^p-1d¹+C₂(a+b)^p-2d²-...-C_p-2(a+b)²d^p-2+C_p-1(a+b)¹d^p-1-(a+b)⁰d^p, где символами C_i обозначены соответствующие биномиальные коэффициенты, мы сразу увидим, что все члены разложения, кроме последнего (a+b)⁰d^p=d^p, уже вне всякого сомнения делятся на a+b. Следовательно, этот последний член разложения тоже обязан делиться на a+b в согласии с признаком делимости, установленным в левой части уравнения.

- Прекрасно, - констатировал удачный ход мысли старик. - Первый названный вами вариант невозможен, так как если d делится на a+b, тогда выражение a+b-d не есть натуральное число; оно будет или нулем, или отрицательным числом. Чтобы доказать невозможность второго варианта, вам нужно выяснить, из произведения каких множителей состоит число d, а именно в первую очередь вас должен заинтересовать вопрос наличия в нем простых множителей p. Во вторую очередь потребуется рассмотреть вопрос не вхождения в число b все тех же множителей p и множителей некоторого числа k, которые несомненно существуют в числе d, о чем упомянем чуть позже. Так вот касательно первой очереди сразу могу подсказать: число d непременно включает в себя по крайней мере один простой множитель p, или понятнее выражаясь, хотя бы раз это число может быть разделено нацело на показатель степени p исходного равенства. Попробуйте это доказать. Сможете?

Эни, не долго думая, ответил:

- Это легко сделать хотя бы с помощью вашей теоремы о простых числах: выражение a^p-a при натуральном числе a и простой степени p делится нацело на число p. Или ваша же теорема в другой интерпретации: остаток от деления на простое число p выражения a^p при натуральном числе a равен остатку от деления a на p. Таким образом, в уравнении a^p+b^p=(a+b-d)^p левая часть при делении на p даст остаток как при делении a+b на p. Тот же остаток даст деление правой части на p. Но ведь для этой части остаток будет такой же, как при делении a+b-d на p. Следовательно, мы вынуждены признать, что во всяком вероятном натуральном решении заданного уравнения число d просто не может не делиться на p.

- Умница! Вот вы еще на шаг ближе к цели. - Старик поощрительно улыбнулся. Потом сосредоточенно посмотрел на Эни, словно оценивал. - Вижу, вы куда-то спешите?

- Мое время пребывания здесь тикает, и его осталось наверняка немного. Как только оно истечет, я в момент исчезну из вашей поры и вернусь в свою. Так что давайте не терять времени даром. Что у нас там дальше?

- Поскольку нам в принципе не известно действительное количество простых множителей p, которые есть в числе d, лучше обозначим это количество переменной x и сделаем следующую замену: d=p^xD, где одноименной заглавной буквой D обозначены остальные множители, имеющиеся в числе d. Вам понятна замена? Под записью p^xD далее мы будем понимать первоначальное число d, которое использовалось в равенстве a^p+b^p=(a+b-d)^p. То есть теперь это равенство выглядит так: a^p+b^p=(a+b-p^xD)^p.

Эни утвердительно кивнул. Старик продолжил:

- Я заявляю, что если бы для рассматриваемого равенства нашлось какое-то мифическое натуральное решение во взаимно простых (не имеющих общих делителей) числах a, b и d=p^xD, то одно из чисел - конкретно a или b - неизбежно содержало хотя бы один множитель p, а второе число вообще не содержало бы таких множителей. Иначе говоря, в принципе не существует ни одного решения в попарно взаимно простых числах. Ну например, для ясности пусть назначим b не содержащим этих множителей, и соответственно a содержащим множители p. Попробуйте обосновать мое утверждение. Более того, можно легко показать, скольким именно множителям p позволительно содержаться в числе a и какому их количеству никогда невозможно быть.

Эни страдальчески посмотрел на старика. Тот с пониманием принимал нетерпение Эни, его боязнь, не дождавшись конца объяснений, вывалиться в свою эпоху. Однако глаза старика выражали неотвратимую необходимость провести Эни через все этапы размышлений, чтобы он уловил тончайшую суть каждого поворота мысли. И старик, как бы извиняясь, добавил:

- Я прошу это сделать не ради потехи. В ваше время, рискну предположить, математика обладает гораздо более серьезными, даже глобальными методами исследований, так что вы, возможно, реже нашего пускаетесь в осмотр мелких подробностей. А вот в наше время, чтобы делать безукоризненные замечания, подобные моему на полях книги Диофанта, требуется досконально представлять себе устройство того или иного числа в обсуждаемой задаче. Потому мы часто задаем себе вопросы в отношении строения неизвестных чисел, присутствия возможных или невозможных в них множителей.

- Ладно. - Эни переместился на следующую грядку. - Сначала, подобно вашей схеме, я проведу замену a=p^yA, где одноименной заглавной буквой A обозначу остальные множители, имеющиеся в числе a. Переменной y я обозначил неизвестное нам количество множителей p, якобы имеющихся в числе a.

Старик согласно кивнул. Эни начал вычерчивать ряды формул:

- Итак, у нас есть уравнение (p^yA)^p+b^p=(p^yA+b-p^xD)^p.

Старик опять кивнул.

- Раскрываем скобки в правой части по формуле бинома Ньютона: (p^yA)^p+b^p=(p^yA+b)^p-C₁(p^yA+b)^p-1(p^xD)¹+C₂(p^yA+b)^p-2(p^xD)²-...+C_p-1(p^yA+b)¹(p^xD)^p-1-(p^xD)^p.

И снова старик кивнул.

- Переносим первый член правой части в левую часть, а затем для удобства восприятия записи умножаем уравнение на -1. Получаем (p^yA+b)^p-(p^yA)^p-b^p=C₁(p^yA+b)^p-1(p^xD)¹-C₂(p^yA+b)^p-2(p^xD)²+...-C_p-1(p^yA+b)¹(p^xD)^p-1+(p^xD)^p.

- Годится, - подбодрил старик.

- Далее раскрываем скобки первого члена левой части и проводим в ней сокращение взаимоисключающих членов +(p^yA)^p-(p^yA)^p и +b^p-b^p. Вот что получаем в итоге: C₁(p^yA)^p-1b¹+C₂(p^yA)^p-2b²+...+C_p-1(p^yA)¹b^p-1=C₁(p^yA+b)^p-1(p^xD)¹-C₂(p^yA+b)^p-2(p^xD)²+...-C_p-1(p^yA+b)¹(p^xD)^p-1+(p^xD)^p. Левая часть уравнения бесспорно делится по крайней мере на p^y, правая - на p^x. Поэтому в первоначально обозначавшемся числе a, конечно же, наравне с другими возможными случаями может быть и ровно столько же множителей p, сколько их есть в первоначально обозначавшемся числе d. То есть y=x, соответственно p^y=p^x.

Эни перевел дыхание, встряхнул затекшей рукой и приступил к уточнениям:

- Другие случаи, например y=|x-1|, y=|x-2|, ..., y=|x-z|, y=x+1, y=x+2 и так далее, можно рассматривать отдельно, если по условиям задания потребуется ответить на вопрос, может ли именно такое-то количество множителей p входить в число a. Причем здесь обязательно придется вспомнить и о четном количестве оставшихся членов разложения в левой части уравнения и нечетном - в правой, вспомнить и о свойстве равенства биноминальных коэффициентов у членов, равноудаленных от конца разложения, а также что все эти коэффициенты при нечетной простой степени p хотя бы раз делятся на p.

- А как же в случае y=x-x=0? - возразил старик. - Вдруг я наврал, что число a содержит множители p? Ведь тогда p^y=p⁰=1. Чем вы это опровергните?

- Уф! - Эни, выпучив глаза, застонал. - Я уже задолбался выписывать эти длинные цепочки членов разложения.

- Хорошо, ленивый мой коллега. Возьмите негромоздкую запись третьей степени и покажите на ней, что всякий случай y=x-z при натуральном z, меньшем или равном x, нереален. - Старик жестом пригласил к действию.

- Сперва без введенных замен имеем 3a²b+3ab²=3(a+b)²d-3(a+b)d²+d³, - приступил Эни. - С учетом степени p=3 вводим первую замену d=p^xD=3^xD: 3a²b+3ab²=3(a+b)²(3^xD)-3(a+b)(3^xD)²+(3^xD)³. Делим уравнение на 3 и выносим в левой части за скобки общий множитель ab, а в правой - множитель 3^x: ab(a+b)=3^x((a+b)²D-(a+b)3^xD²+3^2x-1D³). Теперь вводим вторую замену a=p^yA=p^x-zA=3^x-zA: 3^x-zAb(3^x-zA+b)=3^x((3^x-zA+b)²D-(3^x-zA+b)3^xD²+3^2x-1D³). Делим уравнение на 3^x: 3^-zAb(3^x-zA+b)=(3^x-zA+b)²D-(3^x-zA+b)3^xD²+3^2x-1D³.

Тут Эни приостановился и обратился к старику:

- Пьер, вас устраивает, как я обозначил отрицательной степенью деление левой части на 3^z?

- Да. Я понял вашу запись.

- Таким образом, - завершающим тоном сказал Эни, - если левая часть делится нацело на 3^z, значит для ее выражения в скобках верно некоторое равенство 3^x-zA+b=3^zm, где m - какое-то натуральное число. Введем эту замену в уравнение: 3^-zAb(3^zm)=(3^zm)²D-(3^zm)3^xD²+3^2x-1D³. Разделим его на m: Ab=3^2zmD-3^x+zD²+3^2x-1D³m^-1. Здесь несомненно видно, что между частями уравнения имеется несоответствие в делимости на 3.

Эни победоносно вздохнул:

- Со случаями y=x+z разбираться?

- Не надо, - отклонил старик. - Похоже, суть вы уяснили. Надеюсь, обобщить свои последние размышления на случай любой простой нечетной степени p сумеете.

- Вроде не дурак. Сумею.

- Прекрасно. Теперь вспомните, - многозначительно подмигнул старик, - каким мы ожидали быть числу d^p. Делящимся на a+b, не так ли? Тогда по применявшейся нами схеме сделаем еще одну замену, где используем упоминавшееся ранее натуральное число k: d=p^xD=p^x(ka+kb)^1/p. Дробной степенью я обозначил корень p-той степени из внутрискобочного выражения. Тогда d^p=(p^x)^pk(a+b), то есть, во-первых, налицо делимость на a+b, а во-вторых, употреблением k мы показываем уже в самом числе d^p возможное существование каких-то иных множителей, кроме безусловно должных быть p^px и a+b.

- Стойте! - перебил Эни. На его лице появилось озарение. - Я кажется все понял. Вы поймите меня правильно, я все-таки профессор математики. Будет несолидно, если вы все разжуете, разложите по нотам и дадите мне доказательство целиком. Последний шаг я хочу сделать сам.

- Так мы и так стоим уже чуть ли не в метре от финала, - возразил старик. - Да и зачем это вам?

- Люблю доходить до всего сам. Недосказанность стимулирует интерес. Кроме того, вы только представьте, как я лихо смогу дразнить наших математиков загадкой о простом доказательстве Великой теоремы Ферма. Вы лучше покажите ход мысли на каком-нибудь частном случае. Остальное - наше дело.

- Чтобы вы еще три столетия гадали? - съязвил старик.

- Да уж как-нибудь сообразим. Если надо, мы и сами обобщим на случай любой нечетной простой степени, - невозмутимо парировал Эни.

- Да уж не сомневаюсь. Ну хорошо, на каком частном случае вам показать?

- Скажем, - Эни на миг задумался, - пускай для той же третьей степени. А то нам здесь под математические записи никаких грядок не хватит, - сказал он, осматривая двор дома.

- Смотрите внимательно. Начальные условия имеем такие: выбран случай степени p=3; числа a, b и d есть натуральные взаимно простые числа; соответственно им определяем оговоренные ранее замены a=p^yA, d=p^xD=p^x(ka+kb)^1/p. Но пока работаем с равенством a³+b³=(a+b-d)³, замены позже будем поочередно вводить по мере надобности, чтобы не мешать ясному пониманию действий.

Эни со знанием дела кивнул. Старик продолжил:

- Покажем делимость левой части на a+b, то есть вынесем в ней за скобки этот множитель: (a+b)(a²+b²-ab)=(a+b-d)³. Затем раскроем скобки в правой части: (a+b)(a²+b²-ab)=(a+b)³-3(a+b)²d+3(a+b)d²-d³. Введем первую замену (p^x)^pk(a+b) непосредственно для члена d³: (a+b)(a²+b²-ab)=(a+b)³-3(a+b)²d+3(a+b)d²-(3^x)³k(a+b). Разделим равенство на a+b: a²+b²-ab=(a+b)²-3(a+b)d+3d²-3^3xk. Перенесем первый член правой части в левую, раскроем там его скобки и сократим взаимоисключающие члены: -3ab=-3(a+b)d+3d²-3^3xk. Еще раз перенесем в левую часть первый член правой части и разделим равенство на 3: (a+b)d-ab=d²-3^3x-1k. Раскроем скобки: ad+bd-ab=d²-3^3x-1k. Перенесем член ad в правую часть, а в левой вынесем за скобки общий множитель b, затем для удобства умножим равенство на -1: b(a-d)=d(a-d)+3^3x-1k. Разделим равенство на a-d: b=d+3^3x-1k(a-d)^-1. А теперь введем оговаривавшуюся замену p^yA для члена a и замену p^xD для члена d: b=3^xD+3^3x-1k(3^yA-3^xD)^-1.

Старик остановился и оценивающе посмотрел на Эни, который в потрясении молчал, зачаровано оглядывая сделанные записи.

- Сами видите, - старик ткнул палочкой в уравнение, - даже если принять 3^x=3^y (а ведь можно легко доказать, что это единственно возможный вариант), в результате чего b=3^xD+3^3x-1k(3^xA-3^xD)^-1=3^xD+3^2x-1k(A-D)^-1, то число b, в противовес ожидавшейся от него взаимной простоте с числами a и d, или оказывается тоже содержащим множители 3, если A-D не содержит ровно 2x-1 таких множителей, или число b тогда можно свободно заменить выражением b=3^xD+m=d+m, где m - натуральное число, не делящееся на 3, и уже вместо a³+b³=(a+b-d)³ рассмотреть равенство a³+(d+m)³=(a+m)³ по применявшимся схемам. К слову сказать, из того последнего равенства b=d+3^3x-1k(a-d)^-1 и вводившейся ранее замены d=p^xD=p^x(ka+kb)^1/p следует, что a-d должно не только содержать 3x-1 множителей 3, но и множители числа k, чтобы b не утрачивало взаимную простоту с числами a и d. В таком случае b=3^xD+1=d+1 и круг возможных решений резко сокращается до a³+(d+1)³=(a+1)³.

Эни с отблесками радости на лице благодарно покачивал головой. Старик отбросил палочку и поднялся с корточек.

- Теперь я понял идею доказательства в деталях, - сказал совсем повеселевший Эни. - Спасибо вам, Пьер. Я неимоверно рад этой встрече с вами...

Эни не успел выразить все благодарности талантливому математику-самоучке. Как и предсказывал его друг Бэни, непрерывное течение физических процессов времени выдавило его из 17 века и вернуло в родную эпоху. Да это в сущности не так уж и важно. Завершая рассказ, требуется поставить окончательное многоточие в форме ожидаемого дразнящего вопроса со стороны персонажа Эни в адрес амбициозных математиков: "Как небезосновательно утверждал Пьер Ферма, уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ не имеет решений в натуральных числах для n>2, чему действительно есть удивительно простое подтверждение. Я, профессор математики Эни Бульбени, знаю это доказательство целиком. А вы?"

P.S. (постскриптум, то бишь после изложенного). Великая теорема Ферма уже давно доказана - первый раз втихаря в середине 17 века, во второй раз во всеуслышание в 1995 году. Понапрасну еще раз мучаться из-за нее не стоит. Однако невинный интерес повторить в полном виде доказательство 17 века все же остается в каждом незатурканном жизнью математике.

Дмитрий Сахань, 12 января 2007 года