Быстрый счет (30 простых приемов устного счета)

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме. Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета. Они рассчитаны на средние способности и имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни. Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

Умножение на однозначное число

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27·8), выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20·8=160), затем единицы (7·8=56) и оба результата складывают. Еще примеры: 34·7=30·7+4·7=210+28=238, 47·6=40·6+7·6=240+42=282.

Полезно знать на память таблицу умножения до 19x9. Зная эту таблицу, можно умножение, например 147·8, выполнить в уме так: 147·8=140·8+7·8=1120+56=1176.

Когда одно из умножаемых чисел разлагается в произведение однозначных множителей, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225·6=225·(2·3)=450·3=1350.

Умножение на двузначное число

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число. Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как было описано выше. Например: 6·28=28·6=20·6+8·6=120+48=168.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например: 29·12=29·10+29·2=290+58=348, 41·16=41·10+41·6=410+246=656 (или 41·16=16·41=16·40+16=640+16=656). Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

Если множимое или множитель легко разложить в уме в произведение однозначных чисел (например, 14=2·7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз. Например: 45·14=45·(2·7)=(45·2)·7=90·7=630.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например: 112·4=224·2=448, 335·4=670·2=1340.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например: 217·8=434·4=868·2=1736 (еще удобнее: 217·8=200·8+17·8=1600+136=1736).

Деление на 4 и на 8

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например: 76:4=38:2=19, 236:4=118:2=59.

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например: 464:8=232:4=116:2=58, 516:8=258:4=129:2=64,5.

Умножение на 5 и на 25

Чтобы устно умножить число на 5, умножают его на 10/2, то есть приписывают к числу ноль и делят пополам. Например: 74·5=740:2=370, 243·5=2430:2=1215. При умножении на 5 четного числа удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например: 74·5=74:2·10=370.

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4, то есть - если число кратно 4 - делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например: 72·25=72:4·100=1800. Если же число при делении на 4 дает остаток, то при остатке 1 приписывают к частному 25, при остатке 2 приписывают 50, при остатке 3 приписывают 75. Основание этого приема ясно из того, что 100:4=25; 200:4=50; 300:4=75.

Умножение на 1,5, на 1,25, на 2,5, на 3/4

Чтобы устно умножить число на 1,5, прибавляют к множимому его половину. Например: 34·1,5=34+17=51, 23·1,5=23+11,5=34,5.

Чтобы устно умножить число на 1,25, прибавляют к множимому его четверть. Например: 48·1,25=48+12=60, 58·1,25=58+14,5=72,5.

Чтобы устно умножить число на 2,5, к удвоенному числу прибавляют половину множимого. Например: 18·2,5=36+9=45, 39·2,5=78+19,5=97,5. Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам: 18·2,5=90:2=45.

Чтобы устно умножить число на 3/4 (то есть чтобы найти три четверти этого числа), умножают число на 1,5 и делят пополам. Например: 30·3/4=(30+15):2=22,5. Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

Умножение на 15, на 125, на 75

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 1,5, (потому что 10·1,5=15). Например: 18·15 =18·10·1,5=270, 45·15=450+225=675.

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 1,25 (потому что 100·1,25=125). Например: 26·125=26·100·1,25=2600+650=3250, 47·125=47·100·1,25=4700+4700:4=4700+1175=5875.

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100·3/4=75). Например: 18·75=18·100·3/4=1800·3/4=(1800+900):2=1350. Примечание: некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также описанным выше приемом разложения одного из множителей в произведение однозначных чисел (или в произведение небольших множителей, один из которых окажется однозначным или же просто удобным для устного вычисления), уменьшая исходный взятый множитель, увеличивая в то же время на столько же второй исходный множитель. Например: 18·15=18·(3·5)=90·3=270, 26·125=26·(5·25)=130·25=3250.

Умножение на 9 и на 11

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например: 62·9=620-62=600-42=558, 73·9=730-73=700-43=657.

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например: 87·11=870+87=957.

Деление на 5, на 1,5, на 15

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числе последнюю цифру (или, что эквивалентно, делят на 10). Например: 68:5=136:10=13,6, 237:5=474:10=47,4.

Чтобы устно разделить число на 1,5, делят удвоенное число на 3. Например: 36:1,5=72:3=24, 53:1,5=106:3=35,333...

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например: 240:15=480:30=48:3=16, 462:15=924:30=900:30+24:30=30+4:5=30,8 (или 924:30=308:10=30,8).

Возвышение в квадрат (возведение в степень 2)

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8·9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры: вычисляем 25², умножаем число десятков 2·(2+1)=2·3=6, приписываем справа 25 и получаем 625; вычисляем 45², 4·(4+1)=4·5=20, получаем 2025; вычисляем 145², 14·15=210, получаем 21025. Прием этот вытекает из формулы (10x+5)²=100x²+100x+25=100x(x+1)+25.

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5: 8,5²=72,25, 14,5²=210,25, 0,35²=0,1225 и тому подобным. Как видно, дробное число сначала умножается на 10, 100 и так далее (или запятая переносится вправо на требуемое число разрядов), чтобы оно стало целым, затем полученное число возвышается в квадрат, после чего результат делится на 10², 100² и так далее (или запятая переносится влево на удвоенное количество разрядов прошлого переноса запятой вправо). Так как 0,5=1/2, 0,25=1/4, 0,125=1/8, 0,0625=1/16 и так далее, то описанным приемом можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробями 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 и так далее.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а+b)²=a²+b²+2ab или формулой (а-b)²=a²+b²-2ab. Например: 41²=40²+1+2·40=1601+80=1681, 69²=70²+1-2·70=4901-140=4761, 36²=35²+1+2·35=1226+70=1296. Прием особенно удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9, так как они легко представляются в виде (a+1)² или (a-1)².

Вычисления по формуле (a+b)(a-b)=a²-b²

Пусть требуется выполнить устно умножение 52·48. Мысленно представляем эти множители в виде (50+2)(50-2) и применяем приведенную в заголовке формулу: (50+2)(50-2)=50²-2²=2500-4=2496.

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой - в виде разности тех же чисел: 69·71=(70-1)(70+1)=70²-1²=4900-1=4899, 33·27=(30+3)(30-3)=30²-3²=900-9=891, 53·57=(55-2)(55+2)=55²-2²=3025-4=3021, 84·86=(85-1)(85+1)=85²-1²=7225-1=7224.

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода: 7,5·6,5=(7+0,5)(7-0,5)=7²-0,5²=49-0,25=48,75, 11,75·12,25=(12-0,25)(12+0,25)=12²-0,25²=144-0,0625=143,9375.

Полезно запомнить: 37·3=111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и так далее: 37·6=37·(3·2)=111·2=222, 37·9=37·(3·3)=111·3=333, 37·12=37·(3·4)=111·4=444, 37·15=37·(3·5)=111·5=555 и так далее.

Полезно также запомнить: 7·11·13=1001. Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода: 77·13=(7·11)·13=1001, 77·26=(7·11)·(2·13)=2002, 77·39=(7·11)·(3·13)=3003 и так далее; 91·11=(7·13)·11=1001, 91·22=(7·13)·(2·11)=2002, 91·33=(7·13)·(3·11)=3003 и так далее; 143·7=(11·13)·7=1001, 143·14=(11·13)·(2·7)=2002, 143·21=(11·13)·(3·7)=3003 и так далее.

* * *

В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобно применимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.

Яков Исидорович Перельман, 1941 год