По ту сторону математики

14 октября 2010 года скончался Бенуа Мандельброт - человек, подаривший миру фрактальную геометрию. Он умер от рака в обычном хосписе в городе Кембридж, штат Массачусетс, в возрасте 85 лет. Мировые агентства сообщили об этом только спустя три дня - 17 октября 2010 года.

Бенуа Мандельброт родился в Польше 20 ноября 1924 года. Математикой его заинтересовали его дяди, один из которых был известным французским ученым. Скрываясь от нацистов, семья Мандельбротов в 30-х годах прошлого века перебралась во Францию. Здесь Бенуа начал всерьез заниматься математикой. В 40-е он уже работал с легендарными Гастоном Жулиа и Паулем Леви, а в 1952 году защитил кандидатскую диссертацию.

С самого начала своей научной карьеры Бенуа Мандельброт не ограничивался только теоретической математикой - его всячески интересовали различные приложения изучаемых им теорий. В результате ему удалось оставить свой след в физике, аэродинамике и теории финансов.

В 1958 году ученый начал работать в компании IBM. Именно здесь, используя для визуализации вычислений компьютеры, он написал самое известное свое произведение - книгу "Фрактальная геометрия природы". В этом скорее научно-популярном труде Мандельброт собрал самоподобные структуры из самых разных разделов математики, снабдив их описание богатыми иллюстрациями. Эти структуры, многие из которых на момент написания книги были известны чуть ли не около столетия, Бенуа назвал фракталами, чтобы с их помощью дать описание береговой линии, облаков и прочих всем привычных объектов.

Дырявый треугольник

Что же такое фрактал? Так как строгого математического определения для этого объекта, вообще говоря, не существует, то удобно будет начать объяснение с примера.

В 1916 году польский математик Вацлав Серпинский опубликовал работу, в которой предложил следующую геометрическую конструкцию. На первом этапе автор брал равносторонний треугольник и выкидывал из него треугольник, полученный путем соединения середин сторон исходного. Получалась фигура, составленная из трех треугольников, площадь каждого из которых составляла четверть от площади исходного треугольника. На втором этапе аналогичная операция проделывалась с оставшимися треугольниками.

Продолжая действовать по этой схеме, Серпинский получил последовательность фигур, пределом которой является очень "дырявый" треугольник. Это и есть фрактал, получивший название треугольника Серпинского. Данный объект обладает рядом удивительных свойств. Например, его площадь (мера Лебега, если быть точным) равна нулю, а отдельные куски, будучи увеличенными, оказываются такими же, как исходная фигура.

Последнее свойство - самоподобие - часто берут за основу определения фрактала. То есть фрактал - это фигура, обладающая некоторой степенью самоподобия. Другим, более экзотическим, является определение фрактала как топологического пространства дробной хаусдорфовой размерности. Например, размерность треугольника Серпинского равна log 3/log 2, то есть не является целым числом.

Множество Мандельброта

Вместе с тем треугольник Серпинского, как и большинство классических фракталов, плохо поддается визуализации. Максимум, чего можно добиться от этой конструкции - нарисовать несколько фигур, входящих в последовательность.

Понимал это и Бенуа Мандельброт, поэтому и стал искать для своей книги другие фракталы. Бенуа повезло и главную звезду своей книги, позже получившую имя "множество Мандельброта", он обнаружил в работах своего учителя Жулиа.

Для того чтобы понять, что иллюстрирует множество Мандельброта, нам потребуются комплексные числа. Через i будем обозначать мнимую единицу, обладающей свойством i² = -1. Комплексным числом называется выражение вида a + i b. Эти числа можно складывать (как многочлены), умножать (раскрывая скобки по правилу умножения многочленов с учетом тождества i² = -1), делить, извлекать корни и так далее - в общем, делать все, что можно делать с обычными (действительными) числами.

Каждое комплексное число можно представлять себе точкой на плоскости, задаваемой координатами (a, b). В свою очередь, любая функция комплексной переменной, скажем, возведение в квадрат, задает отображение плоскости в себя - каждой точке-аргументу ставится в соответствие точка-значение функции на данном аргументе. Например, возведем число 1 + i в квадрат: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i. Стало быть, если возведение в квадрат рассматривать в качестве отображения, то соответствующая первому числу точка (1, 1) переходит в точку (0, 2), соответствующую результату возведения в квадрат.

Оказывается, точек на плоскости недостаточно для изучения отображений, так как, например, функция 1/z в нуле не определена, то есть соответствующее отображение просто "не знает", куда переводить ноль. Поэтому плоскость дополняют одной бесконечной точкой, получая в результате сферу Римана.

Именно отображения сферы Римана в себя рассматривали Жулиа и Фату. Их интересовал вопрос, как ведет себя точка O с координатами (0, 0) при многократном применении к нему отображения? В качестве простейшего примера Мандельброт взял отображение f(z) = z² + c, где c - некоторая постоянная. Если она равна нулю, ноль остается на месте. Если же c отлично от нуля, то судьба O, вообще говоря, не ясна - точка может начать "убегать" на бесконечность. Будем отмечать на плоскости такие точки c, что при этих значениях параметра точка O на бесконечность не убегает. Что это получится за множество? Оказывается, получится самоподобная фигура, устроенная довольно сложным образом.

Бенуа Мандельброт не удовлетворился описательным ответом, который содержался в работах Жулиа. Вместо этого он заставил компьютер нарисовать загадочный объект. Именно этот шаг, простой и естественный с точки зрения современного пользователя, произвел в 1977 году настоящий фурор. Сложные загадочные объекты, которые считались уделом сухой теории, на картинках оказались поистине завораживающими.

После "Фрактальной геометрии природы" Мандельброт выпустил еще много книг, в том числе и серьезных научных работ, стал лауреатом десятков престижнейших премий. Однако в сердцах тысяч людей по всему миру он останется тем первопроходцем, который открыл простым людям завораживающую красоту математики.